关于线性基的一些理解
这两天学了学线性基，觉得这个东西还挺有意思的，想发一下博客，讲一下自己的一些收获。。
学习参考：
ljh2000：http://www.cnblogs.com/ljh2000-jump/p/5869991.html
网上的神犇：http://blog.csdn.net/qaq__qaq/article/details/53812883
对于一个数集$V$，它的线性基$\beta$是它的一个子集，满足$\beta$中所有数互相异或得到的集合等价于$V$中所有数互相异或得到的集合。也就是说，$\beta$可以看成是$V$的压缩。
线性基有一些性质：
1.线性基的异或集合中不存在0。也就是说，$\beta$是$V$中线性无关的极大子集。（这些概念以后再补吧。。）
2.线性基中每个元素的异或方案唯一，也就是说，线性基中不同的异或组合异或出的数都是不一样的。这个与性质1其实是等价的。
3.线性基的二进制最高位互不相同。
4.如果线性基是满的，它的异或集合为$[1,2^{n}-1]$。
5.线性基中元素互相异或，异或集合不变。
那么，我们如何维护一个线性基呢？
插入
插入很简单，当我们插入一个数时，从高位到低位依次枚举当前线性基的每个元素。
如果我们插入的数x&当前位为1，那么我们分情况讨论：
如果线性基当前位没有元素，那么把当前位赋为x，并break；否则x^线性基当前位。
那么我们可以发现，插入x的最终结局是：要么x被选入线性基中；要么x最后变成了0，说明x已经可以通过线性基中的元素异或出来了。
1 il void add(RG ll x){ 2 for (RG ll i=62;i>=0;--i) 3 if (x>>i&1){ 4 if (!p[i]){ p[i]=x; break; } 5 x^=p[i]; 6 } 7 return; 8 }
合并线性基与插入类似，将另一个线性基暴力插入一个线性基即可。
查询存在性
相当于插入的操作，如果x最后变成了0，说明x已经存在于线性基的异或集合中了。
查询异或集合中最大值
从高位到低位扫描。如果当前res^p[i]能使得答案变大，那么就异或。最后得到的res就是线性基异或集合中的最大值。
1 il ll getmax(){ 2 RG ll res=0; 3 for (RG ll i=62;i>=0;--i) 4 if (res<(res^p[i])) res^=p[i]; 5 return res; 6 }
查询异或集合中最小值
最小值就是线性基中最低位的数。
查询异或集合中k小值
我们考虑改造一下线性基，使得每一位互相独立。
如果j<i，且p[i]的第j位是1，就把p[i]^p[j]。
这样，对于二进制的每一位i。只有p[i]这一位是1，其他的都是0。
同样，根据性质5，这个线性基的本质也是没有改变的。
我们查询的时候，将k进行二进制拆分，如果第i位是1，就异或上线性基中第i个元素，最终得出的答案就是k小值（这个贪心该怎么证呢。。）
1 il void rebuild(){ 2 for (RG ll i=62;i>=0;--i) 3 for (RG ll j=i-1;j>=0;--j) 4 if (p[i]>>j&1) p[i]^=p[j]; 5 for (RG ll i=0;i<=62;++i) if (p[i]) d[cnt++]=p[i]; 6 return; 7 } 8 9 il ll query_kth(RG ll k){ 10 if (k>=(1LL<<cnt)) return -1; RG ll res=0; 11 for (RG ll i=62;i>=0;--i) 12 if (k>>i&1) res^=d[i]; 13 return res; 14 }
线性基大概就是这些操作吧。。感觉自己还不是很理解其中的一些操作，不过光是记下来还是很容易的。。
