Atcoder ABC399 题解

ABC399

又是上大分的一天，rk143，rating+131。

A

枚举每一位，看看对应的 \(s_i\) 和 \(t_i\) 是否不等，数出个数输出即可。

submission.

B

算排名的问题，重分就排名相同。我们有一个结论，一个值 \(x\) 的排名就是数组中严格大于 \(x\) 的数字个数加一。因为 \(n \le 100\)，所以这个直接 \(O(n^2)\) 算就行。

submission.

C

每个连通块是独立的。
连通块怎么改成树呢？树的点数是边数加一，故将答案加上【边数减点数加一】即可。

submission.

我的写法，无向边一来一回会被算两遍，故除以二。

D

正常枚举值域算，肯定是算不了的。

记数字 \(a\) 出现的两个位置为 \(p0_a,p1_a\)。
交换操作是随便换的，故有序数对 \((a, b)\) 满足限制，一定有 \(p0_a, p1_a, p0_b, p1_b\) 中，最小与次小相邻（即最小等于次小减一），最大与次大相邻。

那 \(p0_a 和 p1_a\) 又不能相邻，故一个 \(a\) 一定和一个 \(b\) 相邻。
也就是，枚举 \(A_i\)，看看 \((A_i, A_{i-1})\) 合不合法，\((A_i, A_{i+1})\) 合不合法，累加即可。
注意要用一些手法保证不重，比如钦定 \(a<b\)，以及用 set 记录哪些 \((a, b)\) 被算过。

submission.

E

分讨题。

首先观察，若存在 \(i \ne j\)，满足 \(s_i=s_j\) 且 \(t_i \ne t_j\)，即 \(s_i\) 的后继不统一，就无解。

然后，各连通块显然独立。

然后我们进行建模，连出所有的有向边 \((s_i, t_i)\)，表示变换过程，可以得到一个基环森林（每个强弱连通块只存在一个环）。假如此时有一条表示变换的路径，我们从路径末端开始进行变换，一定是合法的，此时的次数就是路径的边数。
如果有环呢？

观察样例 4 可以发现，我们可以选择一个中转点，破环为链，有一次额外的操作。
什么时候不需要额外的操作？
假如有个环 \(a\to b\to c \to a\)，同时又有 \(d \to c\)，我们可以把 \(a\) 先变成 \(d\)，再正常操作。也就是说，我们可以选择一个不在任何环（包括自环）上的点作为中转点，操作次数仍然是边数。

如果所有点都在某个环上呢？
若 \(s=t\)，操作次数为 \(0\)；
否则，无解。

这样就做完了，我乱写写的 \(O(n+C^2)\)，其中 \(C\) 为字符集。

submission.

F

比 E 简单。

我们令 \(A_i=\sum_{j=0}^i A_j\)。
那么就是要求 \(ans=\sum_{0\le l < r \le n}(A_r-A_l)^k\)。
用二项式定理展开，有 \(ans=\sum_{0 \le l < r \le n}\sum_{j=0}^{k}A_r^jA_l^{k-j} \binom{k}{j} (-1)^{k-j}\)
考虑枚举 \(r,j\)。再做前缀和 \(sum_{i, j}=\sum_{x=0}^{i}A_x^j\)，上面的式子可以用前缀和优化。时间复杂度 \(O(nk)\)。

注意此意义下，\(0^0=1\)。

submission.

G

不会，毕竟全场只过了 \(3\) 个人。