[ABC365G] AtCoder Office 题解

一道根号分治的典题。

因为 polylog 不好做（没有有效的数据结构维护许多个一组的区间并），故考虑根号算法。
指定一个分割点 $B$，我们把在记录中出现次数大于等于 $B$ 次的人称为【大人】，出现次数小于 $B$ 次的人称为【小人】。
现在询问分为两种。

• 【小人】和【小人】询问。
• 包含【大人】的询问。

先处理第二种，包含【大人】的询问。【大人】的个数不超过 $O(\frac{m}{B})$ 个，从这里入手。
我们预处理出每个【大人】与所有其他人之间的询问。基本的思路就是：

• 枚举【大人】$i$；
• 枚举其他任意一个人 $j$；
• 枚举 $j$ 的所有进出区间（显然可能有多个），对于每个单区间求出其与 $i$ 的所有区间的交的大小。

由于区间个数总和是 $O(n+m)$ 的，故这样做是 $O(\frac{nm+m^2}{B})$ 的。
那只剩一个问题：如何快速求一个【大人】和一个单区间的交？

我们将时间离散化，记 $su{m}_{i,j}$ 为第 $i$ 个【大人】，从 $0$ 到离散化后的时间 $j$ 的范围内，【大人】在办公室内多久。
这本质是个前缀和，可以在 $O(\frac{m^2}{B})$ 的时间复杂度内求出。
于是我们对于【大人】$i$ 和一个单区间 $[l,r]$（离散化后），答案就是 $su{m}_{i,r}-su{m}_{i,l}$。这个过程不会出现 $r$（$l$）在【大人】的某一个区间内，而【切断】了 $sum$ 数组，因为 $sum$ 在计算的时候就将所有离散化后的时间都考虑到了。

于是，【大人】$i$ 和任意人 $j$ 的答案 $f_{i,j}$ 就是 $\sum _{[l,r]\in allrangesofj}su{m}_{i,r}-su{m}_{i,l-1}$。统计答案的过程可以在 $O(\frac{nm+m^2}{B})$ 的时间复杂度内求出。

再看小人和小人之间的询问。这个直接用类似双指针的思想做，可以在 $O(B)$ 的时间复杂度内解决，全部询问时间复杂度为 $O(qB)$。（但是 $O(B^2)$ 的暴力反而快 $2$ 倍）

$B$ 取 $\sqrt{m}$，理论时间复杂度最优，为 $O((n+m+q)\sqrt{m})$。

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