关于 wqs 二分的几何意义的思考

我们知道，wqs 二分是通过二分斜率，通过找到切凸包的切点来寻找答案（至少我目前写的简单题是这样的）。那么所谓切凸包的几何意义是什么？我们以 LG P5633 最小度限制生成树 为例。

对于样例，我们设 $f(x)$ 为节点 $s$ 恰为 $x$ 度的情况下最小生成树的权值，画出凸包。

由于偏移量是平滑的，直觉上看，当偏移量不断变化时，所形成的最小生成树的权值也应当是平滑变化的。结合偏移量与凸包之间斜率的关系，我们可以画出下面这张图：

为什么？首先，赋予 $s$ 边的偏移量越小，意味着 $s$ 边的权值越小，那么构造 $\text{MST}$ 时就会倾向于选用更多的 $s$ 边。其次，证一个引理：无论赋予 $s$ 边的偏移量多少，若钦定了生成的 $\text{MST}$ 中含 $s$ 边的数量不变（即钦定生成的必须是恰含 $k$ 条 $s$ 边的情况下的 $\text{MST}$），那么它的形态一定不会变（若同时有多个 $\text{MST}$，那么偏移量变化后也都仍然是 $\text{MST}$）。这是显然的，若偏移量加上了 $\mathrm{\Delta }$，那么对于所有含 $k$ 条 $s$ 边的最小生成树，它们的权值都加上了 $k\cdot \mathrm{\Delta }$，那么显然原来最小的现在仍然最小，故形态不变。那么，对于原来的凸包，我们将凸包上的点的纵坐标对应到纵轴上。由引理，我们知道将 $(x_0,f(x_0))$ 射影到纵轴上，过该点任作一条直线 $y=kx+f(x_0)$，其与直线 $x=x_0$ 的交点的纵坐标就是赋予 $s$ 边的偏移量为 $k$ ，且恰选 $x_0$ 条 $s$ 边时最小生成树的权值，这是因为，交点的纵坐标为 $f(x_0)+k{x}_0$，就对应着 $x_0$ 条 $s$ 边加上总偏移量 $k{x}_0$ 的情况下的最小值。那么对于一个斜率 $k$，我们将纵轴上每个射影的点都做一条斜率为 $k$ 的直线，这些直线交 $x=x_i$ 中纵坐标最小的交点，对应的就是当前偏移量为 $k$ 的情况下最小生成树的权值：

红线表示当点在红线上时，它的纵坐标是最小的。这张图反映了当偏移量减小时，$\text{MST}$ 会倾向选用更多的 $s$ 边（即与横坐标更大的直线相交的纵坐标更小），且生成的最小生成树权值的变化是平滑的（纵坐标最小的点变化时红线组成了连续段）。于是我们应该研究这些红线跳变的纵坐标，此时会发现：对于横坐标为 $x_0$ 的红线，它由这个点所对应的 $f(x_0)$ 与凸包相邻两点的斜率决定，是将凸包上的点 $(x,f(x_0))$ 射影到纵轴上后，过射点分别作斜率为原本的点与相邻两点间斜率的相反数的直线与 $x=x_0$ 的交点组成的线段。或者另一种生成方式：过凸包上的一点作所有切线与纵轴的交点组成的线段，对应到原本的横坐标上。例如只考虑点 $C$ 对应的红线：

图中 $k_{EF}=-k_{BC}$，$k_{EG}=-k_{CD}$。

为什么？首先显然当 $k$ 不断减小时，交点纵坐标是在减小的。并且由于这是个下凸壳，凸壳间的斜率是不断增大的，那么其斜率的相反数不断减小。射点都在纵轴上，斜率相同时，其交的直线距离纵轴越远（即 $x_0$ 越大），根据相似对应，其交点的变化速率也应当越快。那么我们只需考虑相邻两个交点在什么时候纵坐标相同。不妨考虑上图中的 $B$、$C$ 两点：设 $B^{\prime }(x_0,f(x_0)+k\cdot x_0)$，$C^{\prime }(x_0+1,f(x_0+1)+k\cdot (x_0+1))$，当 $k=-({\displaystyle \frac{f(x_0+1)-f(x_0)}{x_0+1-x_0})=f(x_0)-f(x_0+1)}$ 时，有 $B^{\prime }(x_0,(x_0+1)f(x_0)-x_{0}f(x_0+1))$，$C^{\prime }(x_0+1,(x_0+1)f(x_0)-x_{0}f(x_0+1))$，两点纵坐标相等，于是当 $k$ 减小时，$C^{\prime }$ 即从此刻开始超过 $B^{\prime }$，变成新的纵坐标最小的点。这或许是 wqs 二分中二分的斜率的意义：当斜率减小至超过某数 $k_0$ 时，选取的关键边过多，于是增加斜率；反之减小斜率，根据所交的点减去 $\text{关键边数}\cdot k$ 即可还原出凸包上的点，其成立的关键应当就是图中红边的连续性，而答案凸包中相邻的斜率的相反数就对应着此时关键边数的跳变。

关于凸包中相邻两点斜率的几何意义，我的想法是，不妨设凸包中一点为 $(x,f(x))$，另一点为 $x+1,f(x)+\mathrm{\Delta }$，那么它们间的斜率为 $\mathrm{\Delta }$。假设当 $k=k_0$ 时两点对应的红线发生了跳变，那么 $f(x)+x{k}_0=f(x)+\mathrm{\Delta }+(x+1)k_0$，相减得 $\mathrm{\Delta }=-k_0$，$\mathrm{\Delta }$ 的意义应当是若恰多选一条关键边，那么方案的价值增加了 $\mathrm{\Delta }$，而 $k=k_0$ 时发生跳变，意味着当 $k=k_0$ 时恰多选一条关键边，原有 $x$ 条关键边，那么 $f(x)+x{k}_0$ 与 $f(x)+\mathrm{\Delta }+(x+1)k_0$ 是相同的，感性理解，此时从这点“减去” $(x+1)k_0$ 与 $x{k}_0$ 恰好差了 $\mathrm{\Delta }$。所以 $k_0$ 的生成会跟 $\mathrm{\Delta }$ 有关。所谓的二分斜率，实际上二分的是答案凸包上斜率的相反数（$z_1=f(x_0)-k_1{x}_0$ 与 $z_2=f(x_0)+k_2{x}_0$，$k_1=-k_2$ 的区别，$k_1$ 是答案凸包上的斜率，$k_2$ 是偏移量）。