关于 wqs 二分的几何意义的思考
我们知道,wqs 二分是通过二分斜率,通过找到切凸包的切点来寻找答案(至少我目前写的简单题是这样的)。那么所谓切凸包的几何意义是什么?我们以 LG P5633 最小度限制生成树 为例。
对于样例,我们设 \(f(x)\) 为节点 \(s\) 恰为 \(x\) 度的情况下最小生成树的权值,画出凸包。
![](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/d9alv46x.png)
由于偏移量是平滑的,直觉上看,当偏移量不断变化时,所形成的最小生成树的权值也应当是平滑变化的。结合偏移量与凸包之间斜率的关系,我们可以画出下面这张图:
![](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/p52q2a7r.png)
为什么?首先,赋予 \(s\) 边的偏移量越小,意味着 \(s\) 边的权值越小,那么构造 \(\text{MST}\) 时就会倾向于选用更多的 \(s\) 边。其次,证一个引理:无论赋予 \(s\) 边的偏移量多少,若钦定了生成的 \(\text{MST}\) 中含 \(s\) 边的数量不变(即钦定生成的必须是恰含 \(k\) 条 \(s\) 边的情况下的 \(\text{MST}\)),那么它的形态一定不会变(若同时有多个 \(\text{MST}\),那么偏移量变化后也都仍然是 \(\text{MST}\))。这是显然的,若偏移量加上了 \(\Delta\),那么对于所有含 \(k\) 条 \(s\) 边的最小生成树,它们的权值都加上了 \(k \cdot \Delta\),那么显然原来最小的现在仍然最小,故形态不变。那么,对于原来的凸包,我们将凸包上的点的纵坐标对应到纵轴上。由引理,我们知道将 \((x_0, f(x_0))\) 射影到纵轴上,过该点任作一条直线 \(y = kx + f(x_0)\),其与直线 \(x = x_0\) 的交点的纵坐标就是赋予 \(s\) 边的偏移量为 \(k\) ,且恰选 \(x_0\) 条 \(s\) 边时最小生成树的权值,这是因为,交点的纵坐标为 \(f(x_0) + kx_0\),就对应着 \(x_0\) 条 \(s\) 边加上总偏移量 \(kx_0\) 的情况下的最小值。那么对于一个斜率 \(k\),我们将纵轴上每个射影的点都做一条斜率为 \(k\) 的直线,这些直线交 \(x = x_{i}\) 中纵坐标最小的交点,对应的就是当前偏移量为 \(k\) 的情况下最小生成树的权值:
![](https://ooo.0x0.ooo/2023/10/28/ONaL06.gif)
红线表示当点在红线上时,它的纵坐标是最小的。这张图反映了当偏移量减小时,\(\text{MST}\) 会倾向选用更多的 \(s\) 边(即与横坐标更大的直线相交的纵坐标更小),且生成的最小生成树权值的变化是平滑的(纵坐标最小的点变化时红线组成了连续段)。于是我们应该研究这些红线跳变的纵坐标,此时会发现:对于横坐标为 \(x_0\) 的红线,它由这个点所对应的 \(f(x_0)\) 与凸包相邻两点的斜率决定,是将凸包上的点 \((x, f(x_0))\) 射影到纵轴上后,过射点分别作斜率为原本的点与相邻两点间斜率的相反数的直线与 \(x = x_0\) 的交点组成的线段。或者另一种生成方式:过凸包上的一点作所有切线与纵轴的交点组成的线段,对应到原本的横坐标上。例如只考虑点 \(C\) 对应的红线:
![](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/egoqfijg.png)
图中 \(k_{EF} = -k_{BC}\),\(k_{EG} = -k_{CD}\)。
为什么?首先显然当 \(k\) 不断减小时,交点纵坐标是在减小的。并且由于这是个下凸壳,凸壳间的斜率是不断增大的,那么其斜率的相反数不断减小。射点都在纵轴上,斜率相同时,其交的直线距离纵轴越远(即 \(x_0\) 越大),根据相似对应,其交点的变化速率也应当越快。那么我们只需考虑相邻两个交点在什么时候纵坐标相同。不妨考虑上图中的 \(B\)、\(C\) 两点:设 \(B'(x_0, f(x_0) + k \cdot x_0)\),\(C'(x_0 + 1, f(x_0 + 1) + k \cdot(x_0 + 1))\),当 \(k = -(\displaystyle \frac{f(x_0 + 1) - f(x_0)}{x_0 + 1 - x_0}) = f(x_0) - f(x_0 + 1)\) 时,有 \(B'(x_0, (x_0 + 1)f(x_0) - x_0f(x_0 + 1))\),\(C'(x_0 + 1, (x_0 + 1)f(x_0) - x_0f(x_0 + 1))\),两点纵坐标相等,于是当 \(k\) 减小时,\(C'\) 即从此刻开始超过 \(B'\),变成新的纵坐标最小的点。这或许是 wqs 二分中二分的斜率的意义:当斜率减小至超过某数 \(k_0\) 时,选取的关键边过多,于是增加斜率;反之减小斜率,根据所交的点减去 \(\text{关键边数} \cdot k\) 即可还原出凸包上的点,其成立的关键应当就是图中红边的连续性,而答案凸包中相邻的斜率的相反数就对应着此时关键边数的跳变。
关于凸包中相邻两点斜率的几何意义,我的想法是,不妨设凸包中一点为 \((x, f(x))\),另一点为 \(x + 1, f(x) + \Delta\),那么它们间的斜率为 \(\Delta\)。假设当 \(k = k_0\) 时两点对应的红线发生了跳变,那么 \(f(x) + xk_0 = f(x) + \Delta + (x + 1)k_0\),相减得 \(\Delta = -k_0\),\(\Delta\) 的意义应当是若恰多选一条关键边,那么方案的价值增加了 \(\Delta\),而 \(k = k_0\) 时发生跳变,意味着当 \(k = k_0\) 时恰多选一条关键边,原有 \(x\) 条关键边,那么 \(f(x) + xk_0\) 与 \(f(x) + \Delta + (x + 1)k_0\) 是相同的,感性理解,此时从这点“减去” \((x + 1)k_0\) 与 \(xk_0\) 恰好差了 \(\Delta\)。所以 \(k_0\) 的生成会跟 \(\Delta\) 有关。所谓的二分斜率,实际上二分的是答案凸包上斜率的相反数(\(z_1 = f(x_0) - k_1x_0\) 与 \(z_2 = f(x_0) + k_2x_0\),\(k_1 = -k_2\) 的区别,\(k_1\) 是答案凸包上的斜率,\(k_2\) 是偏移量)。