拉格朗日中值定理的证明

拉格朗日中值定理：若函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 上可微，则在 $(a,b)$ 中必有一点 $\xi$ 使得 $f^{\prime }(\xi )={\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}$．

几何意义：若函数在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 上可微，则在 $(a,b)$ 中必有一点使得这一点的切线与连接 $(a,f(a))$，$(b,f(b))$ 的直线平行．

首先证明 $\text{Fermat}$ 定理（费马定理）：若函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 点可微，且在该点取到极值，则 $f^{\prime }(x_0)=0$．

证明：

设 $f(x)$ 在 $x_0$ 处取到极大值，则存在 $x_0$ 的一个邻域 $(x_0-\delta ,x_0+\delta )$ 使得 $\mathrm{\forall }x\in (x_0-\delta ,x_0+\delta )$，有 $f(x)\le f(x_0)$．

设一正实数 $\alpha$ 使得 $\alpha <\delta$，则有 ${\displaystyle \frac{f(x_0)-f(x_0-\alpha )}{\alpha }}\le 0$，${\displaystyle \frac{f(x_0+\alpha )-f(x_0)}{\alpha }}\ge 0$．

令 $\alpha \to 0$，则有 $f^{\prime }(x_0)\le 0$，$f^{\prime }(x_0)\ge 0$，于是 $f^{\prime }(x_0)=0$．

对于最小值，可类似证明．

接着需要证明 $\text{Rolle}$ 定理（罗尔定理）：若函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 上可微，且 $f(a)=f(b)$，则必有一点 $\xi \in (a,b)$ 使得 $f^{\prime }(\xi )=0$．

证明：

若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上恒为常数，则显然对于任意的 $\xi \in (a,b)$ 有 $f^{\prime }(\xi )=0$；

若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上不恒为常数，则必有一极大值点与极小值点．设分别在 $M$、$m$ 处取得极大值与极小值，由费马定理可知 $f^{\prime }(M)=f^{\prime }(m)=0$．

然后可以开始证明拉格朗日中值定理．

证明：

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 上可微，$\varphi (x)=f(x)-f(a)-{\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a)$．

显然有 $\varphi (a)=\varphi (b)=0$．于是，在 $(a,b)$ 上必有一点 $\xi$ 使得 ${\varphi }^{\prime }(\xi )=0$．

对 $\varphi (x)$ 求导，得 ${\varphi }^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-{\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}$．由于 ${\varphi }^{\prime }(\xi )=0$ ，有 $f^{\prime }(\xi )={\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}$．

证毕．

参考：《简明微积分（第四版）》．