拉格朗日中值定理的证明

拉格朗日中值定理：若函数 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上连续，在 \((a, b)\) 上可微，则在 \((a, b)\) 中必有一点 \(\xi\) 使得 \(f'(\xi) = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}\)．

几何意义：若函数在 \([a, b]\) 上连续，在 \((a, b)\) 上可微，则在 \((a, b)\) 中必有一点使得这一点的切线与连接 \((a, f(a))\)，\((b, f(b))\) 的直线平行．

首先证明 \(\text{Fermat}\) 定理（费马定理）：若函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 点可微，且在该点取到极值，则 \(f'(x_0) = 0\)．

证明：

设 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处取到极大值，则存在 \(x_0\) 的一个邻域 \((x_0 - \delta, x_0 + \delta)\) 使得 \(\forall x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta)\)，有 \(f(x) \leq f(x_0)\)．

设一正实数 \(\alpha\) 使得 \(\alpha < \delta\)，则有 \(\dfrac{f(x_0) - f(x_0 - \alpha)}{\alpha} \leq 0\)，\(\dfrac{f(x_0 + \alpha) - f(x_0)}{\alpha} \geq 0\)．

令 \(\alpha \rightarrow 0\)，则有 \(f'(x_0) \leq 0\)，\(f'(x_0) \geq 0\)，于是 \(f'(x_0) = 0\)．

对于最小值，可类似证明．

接着需要证明 \(\text{Rolle}\) 定理（罗尔定理）：若函数 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上连续，在 \((a, b)\) 上可微，且 \(f(a) = f(b)\)，则必有一点 \(\xi \in (a, b)\) 使得 \(f'(\xi) = 0\)．

证明：

若 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上恒为常数，则显然对于任意的 \(\xi \in (a, b)\) 有 \(f'(\xi) = 0\)；

若 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上不恒为常数，则必有一极大值点与极小值点．设分别在 \(M\)、\(m\) 处取得极大值与极小值，由费马定理可知 \(f'(M) = f'(m) = 0\)．

然后可以开始证明拉格朗日中值定理．

证明：

设 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上连续，在 \((a, b)\) 上可微，\(\phi(x) = f(x) - f(a) - \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a)\)．

显然有 \(\phi(a) = \phi(b) = 0\)．于是，在 \((a, b)\) 上必有一点 \(\xi\) 使得 \(\phi'(\xi) = 0\)．

对 \(\phi(x)\) 求导，得 \(\phi'(x) = f'(x) - \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}\)．由于 \(\phi'(\xi) = 0\) ，有 \(f'(\xi) = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}\)．

证毕．

参考：《简明微积分（第四版）》．