数学杂记

排序不等式：设 $a_1\le a_2\le ...\le a_n,b_1\le b_2\le ...\le b_n$，$P$ 是 $\{1,2,...,n\}$ 的一个排列，则有

$${\displaystyle \sum _{i=1}^n{a}_i{b}_{n-i+1}\le {\displaystyle \sum _{i=1}^n{a}_i{b}_{P(i)}\le {\displaystyle \sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i}}}$$

切比雪夫单调不等式：设 $a_1\le a_2\le ...\le a_n,b_1\le b_2\le ...\le b_n$，有

$$n{\displaystyle \sum _{i=1}^n{a}_i{b}_{n-i+1}\le ({\displaystyle \sum _{i=1}^n{a}_i)({\displaystyle \sum _{i=1}^n{b}_i)\le n{\displaystyle \sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i}}}}$$

即设 $f(x),g(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上单调不减，有

$$(b-a){\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)g(a+b-x)\mathrm{d}x\le ({\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x)({\displaystyle {\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x)\le (b-a){\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)g(x)\mathrm{d}x}}}}$$

以上前两式在 $a_1=a_2=...=a_n$ 或 $b_1=b_2=...=b_n$ 时取等，后一式在 $f(x)$ 或 $g(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的每个值都相等时取等．

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拉格朗日插值：对于一个 $n$ 次函数 $f(x)$，若已知 $x_i$ 与 $f(x_i)(1\le i\le n+1$ 且 $x_i$ 互不相同 $)$（即已知该函数经过平面上 $n+1$ 个点的位置，且点两两不重合），则

$$f(x)={\displaystyle \sum _{i=1}^{n+1}f(x_i)\cdot \frac{{\displaystyle \prod _{1\le k\le n+1,k\ne i}(x-x_k)}}{{\displaystyle \prod _{1\le k\le n+1,k\ne i}(x_i-x_k)}}}$$

例如未知 $f(x)=3x^2+2x+5$，而知道 $f(1)=10,f(3)=38,f(7)=166$，则

$$f(x)=f(1)\cdot \frac{(x-3)(x-7)}{(1-3)\times (1-7)}+f(3)\cdot \frac{(x-1)(x-7)}{(3-1)\times (3-7)}+f(7)\cdot \frac{(x-1)(x-3)}{(7-1)\times (7-3)}$$

$$=5\times \frac{(x-3)(x-7)}{6}-19\times \frac{(x-1)(x-7)}{4}+83\times \frac{(x-1)(x-3)}{12}$$

将 $x=2$ 代入上式，可得

$$f(2)=5\times \frac{(2-3)\times (2-7)}{6}-19\times \frac{(2-1)\times (2-7)}{4}+83\times \frac{(2-1)\times (2-3)}{12}$$

$$=21$$

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设 $H_k={\displaystyle \sum _{i=1}^k{\displaystyle \frac{1}{i}}}$（调和级数），则 ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n-1}{H}_i=n{H}_n-n}$

证明：

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n-1}{H}_i=(n-1)+\frac{n-2}{2}+\frac{n-3}{3}+...+\frac{1}{n-1}}$$

$$={\displaystyle \sum _{i=1}^{n-1}\frac{n-i}{i}}$$

$$={\displaystyle \sum _{i=1}^{n-1}\frac{n}{i}-{\displaystyle \sum _{i=1}^{n-1}1}}$$

$$=n{\displaystyle \sum _{i=1}^{n-1}\frac{1}{i}-n+1}$$

$$=n(H_{n-1}+\frac{1}{n})-n$$

$$=n{H}_n-n$$

证毕．

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$\mathrm{D}(x^m)=m{x}^{m-1},\mathrm{\Delta }(x^{\underset{―}{m}})=m{x}^{\underset{―}{m-1}}$，其中 $x^{\underset{―}{m}}={\displaystyle \prod _{i=0}^{m-1}(x-i)=x(x-1)(x-2)...(x-m+1)}$，$\mathrm{D}$ 为微分算子，$\mathrm{\Delta }$ 为差分算子．

$g(x)=\mathrm{D}f(x)$ 当且仅当 ${\displaystyle \int g(x)\mathrm{d}x=f(x)+C}$，则 ${\displaystyle {\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x=f(x){|}_a^b}$

$g(x)=\mathrm{\Delta }f(x)$ 当且仅当 ${\displaystyle \sum g(x)\delta x=f(x)+C}$，则 ${\displaystyle \sum _a^{b}g(x)\delta x=f(x){|}_a^b={\displaystyle \sum _{i=a}^{b-1}g(x)}}$

${\displaystyle {\int }_0^n{x}^m\mathrm{d}x={\displaystyle \frac{n^{m+1}}{m+1}}}$，${\displaystyle \sum _0^n{x}^{\underset{―}{m}}={\displaystyle \frac{n^{\underset{―}{m+1}}}{m+1}}(m,n\in \text{N})}$．

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扩展欧拉定理：

$$a^b\equiv \{\begin{array}{rc}{a}^{bmod\phi (m)}& gcd(a,m)=1,\\ a^b& gcd(a,m)\ne 1,b<\phi (m),\\ a^{(bmod\phi (m))+\phi (m)}& gcd(a,m)\ne 1,b\ge \phi (m).\end{array}$$

延伸：若 $a,m$ 互质，有

$$a\cdot a^{\phi (m)-1}\equiv 1(\mathrm{mod}m)$$

上式当 $m$ 是质数时即为费马小定理．

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泰勒公式：若 $f(x)$ 在包含 $x_0$ 的某个开区间 $(a,b)$ 上有 $(n+1)$ 阶的导数，则对于任一 $x\in (a,b)$，有

$$f(x)={\displaystyle \sum _{i=0}^n\frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0{)}^i+R_n(x)}$$

其中 $R_n(x)={\displaystyle \frac{f^{(n+1)}(\epsilon )}{(n+1)!}}(x-x_0{)}^{(n+1)}$，其中 $\epsilon$ 是 $x$ 与 $x_0$ 之间的某个数。其中 $P_n(x)={\displaystyle \sum _{i=0}^n{\displaystyle \frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}}(x-x_0{)}^i}$ 称为 $n$ 阶泰勒多项式，其与 $f(x)$ 的误差 $R_n(x)$ 称为 $n$ 阶泰勒余项。

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组合

$$\text{阶乘展开式：}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})={\displaystyle \frac{n!}{k!(n-k)!}}$$

$$\text{对称恒等式：}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-k})$$

$$\text{吸收恒等式：}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})={\displaystyle \frac{n}{k}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k-1})$$

$$\text{归纳恒等式：}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k-1})$$

$$\text{上指标反转：}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{k-n-1}{k})$$

$$\text{三项式版恒等式：}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-k}{m-k})$$

$$\text{二项式定理：}(a+b{)}^p={\displaystyle \sum _{k=0}^p(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{k})a^k{b}^{p-k}}$$

$$\text{平行求和法：}{\displaystyle \sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+k}{k})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+n+1}{n})}$$

$$\text{上指标求和法：}{\displaystyle \sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{m})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{m+1})}$$

$$\text{范德蒙德卷积：}{\displaystyle \sum _k(\genfrac{}{}{0ex}{}{s}{m+k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{l}{n-k})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{s+l}{m+n})}$$