几何题2

$\mathrm{△}ABC$ 的内心为 $I$，内切圆分别切边 $BC$、$CA$、$AB$ 于 $D$、$E$、$F$．直线 $BI$、$CI$、$DI$ 分别交 $EF$ 于 $M$、$N$、$K$．直线 $BN$、$CM$ 交于点 $P$，直线 $AK$、$BC$ 交于点 $G$．过 $I$ 垂直于 $PG$ 的直线，与过 $P$ 垂直于 $PB$ 的直线交于 $Q$．证明：直线 $BI$ 平分线段 $PQ$．

如图，设 $BP$ 中点为 $L$，$BI$ 交 $PQ$ 于 $J$，连结 $PK$、$IE$、$IF$、$GL$．以下通过导出一些结论逐渐证明本题．

结论 $\text{1}$：$N$、$M$、$C$、$B$ 四点共圆，且 $BC$ 是直径．

证明：易知 $\mathrm{\angle }BFM={90}^{\circ }+\frac{\mathrm{\angle }A}{2}$，$\mathrm{\angle }FBM=\frac{\mathrm{\angle }B}{2}$，于是 $\mathrm{\angle }FMB=\frac{\mathrm{\angle }C}{2}=\mathrm{\angle }ACI$，故 $M$、$E$、$C$、$I$ 四点共圆，有 $\mathrm{\angle }BMC=\mathrm{\angle }IEC={90}^{\circ }$．同理，$\mathrm{\angle }BNC={90}^{\circ }$，结论得证．

由此结论还可以导出 $I$ 是 $\mathrm{△}PBC$ 的垂心，又由于 $KD\perp BC$，于是 $P$、$K$、$I$、$D$ 共线．

结论 $\text{2}$：$G$ 是 $BC$ 的中点．

证明：由分角定理，$\frac{EK}{FK}=\frac{AE\cdot \sin \mathrm{\angle }EAK}{AF\cdot \sin \mathrm{\angle }FAK}=\frac{IE\cdot \sin \mathrm{\angle }EIK}{IF\cdot \sin \mathrm{\angle }FIK}$，而 $AE=AF$，$IE=IF$，故 $\frac{\sin \mathrm{\angle }EAK}{\sin \mathrm{\angle }FAK}=\frac{\sin \mathrm{\angle }EIK}{\sin \mathrm{\angle }FIK}$，而 $\frac{\sin \mathrm{\angle }EIK}{\sin \mathrm{\angle }FIK}=\frac{\sin \mathrm{\angle }C}{\sin \mathrm{\angle }B}=\frac{AB}{AC}$，那么 $\frac{\sin \mathrm{\angle }EAK}{\sin \mathrm{\angle }FAK}=\frac{AB}{AC}$．于是 $\frac{BG}{CG}=\frac{AB\cdot \sin \mathrm{\angle }BAG}{AC\cdot \sin \mathrm{\angle }CAG}=1$，结论得证．

于是 $GL$ 是中位线，有 $GL\parallel CP$，那么 $\mathrm{\angle }BGL=\mathrm{\angle }BCP=\frac{\mathrm{\angle }C}{2}+\mathrm{\angle }ICM=\frac{\mathrm{\angle }C}{2}+\mathrm{\angle }IEF=\frac{\mathrm{\angle }A+\mathrm{\angle }C}{2}={90}^{\circ }-\frac{\mathrm{\angle }B}{2}=\mathrm{\angle }PIJ$．

由于 $PQ\perp BP$，$IQ\perp PG$，$PI\perp BG$，故 $\mathrm{△}BPG\sim \mathrm{△}PQI$．而 $\mathrm{\angle }BGL=\mathrm{\angle }PIJ$，那么 $L$、$J$ 是对应点，故 $J$ 是 $PQ$ 的中点，即 $BI$ 平分 $PQ$．证毕．