均值的性质及其应用

例题：从均值为200、标准差为50的总体中，抽取n=100的简单随机样本\[{{X}_{1}},{{X}_{2}},..,{{X}_{100}}，\]求\[E\overline{X},D\overline{X},EM_{2}^{*}。\]
解：由样本均值$\overline{X}$的性质得：
\[E\bar{X}=EX=200\]
\[D\overline{X}=\frac{1}{n}DX=\frac{{{50}^{2}}}{100}\text{=}25\]
\[EM_{2}^{*}=E\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}{({{X}_{i}}}-\overset{\_\_}{\mathop{X}}\,{{)}^{2}}=E\frac{n-1}{n}\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}{({{X}_{i}}}-\overset{\_\_}{\mathop{X}}\,{{)}^{2}}}{n-1}=E\frac{n-1}{n}{{S}^{2}}=\frac{n-1}{n}DX=\frac{100\text{-}1}{100}{{50}^{2}}\text{=2475}\]