3.线性代数回顾

3.1 矩阵和向量

如图：这个是4×2矩阵，即4行2列，m为行数，n为列数，那么m×n即4×2

 

 

 矩阵的维数 即行数×列数

矩阵元素（矩阵项）：

 

 

 Aij指第𝑖行，第𝑗列的元素。

向量是一种特殊的矩阵，讲义中的向量一般都是列向量，如：

 

 

 如下图为 1 索引向量和 0 索引向量，左图为 1 索引向量，右图为 0 索引向量，一般我们用 1 索引向量。

 

 

 3.2 加法和标量乘法

矩阵的加法：行列数相等的可以加。如：

 

 

矩阵的乘法：每个元素都要乘 

 

 

 3.3  矩阵向量乘法

矩阵和向量的乘法如图：𝑚 × 𝑛的矩阵乘以𝑛 × 1的向量，得到的是𝑚 × 1的向量

 

 

 3.4 矩阵乘法

矩阵乘法：
𝑚 × 𝑛矩阵乘以𝑛 × 𝑜矩阵，变成𝑚 × 𝑜矩阵。
如果这样说不好理解的话就举一个例子来说明一下，比如说现在有两个矩阵𝐴和𝐵，那
么它们的乘积就可以表示为图中所示的形式。

 

 

 

3.5  矩阵乘法的性质

矩阵乘法的性质：
矩阵的乘法不满足交换律：𝐴 × 𝐵 ≠ 𝐵 × 𝐴
矩阵的乘法满足结合律。即：𝐴 × (𝐵 × 𝐶) = (𝐴 × 𝐵) × 𝐶
单位矩阵：在矩阵的乘法中，有一种矩阵起着特殊的作用，如同数的乘法中的 1,我们称
这种矩阵为单位矩阵．它是个方阵，一般用 𝐼 或者 𝐸 表示，本讲义都用 𝐼 代表单位矩阵，
从左上角到右下角的对角线（称为主对角线）上的元素均为 1 以外全都为 0。如：

 

 

对于单位矩阵，有𝐴𝐼 = 𝐼𝐴 = 𝐴

3.6 转置和逆矩阵

矩阵的逆：如矩阵𝐴是一个𝑚 × 𝑚矩阵（方阵），如果有逆矩阵，则：𝐴𝐴^(-1)= 𝐴^(-1)A = 𝐼 

我们一般在 OCTAVE 或者 MATLAB 中进行计算矩阵的逆矩阵。
矩阵的转置：设𝐴为𝑚 × 𝑛阶矩阵（即𝑚行𝑛列），第𝑖行𝑗列的元素是𝑎(𝑖, 𝑗)，即：𝐴 = 𝑎(𝑖, 𝑗)
定义𝐴的转置为这样一个𝑛 × 𝑚阶矩阵𝐵，满足𝐵 = 𝑎(𝑗, 𝑖)，即 𝑏(𝑖, 𝑗) = 𝑎(𝑗, 𝑖)（𝐵的第𝑖行
第𝑗列元素是𝐴的第𝑗行第𝑖列元素）记A^T =B(有些书记A'=B)
直观来看，将𝐴的所有元素绕着一条从第 1 行第 1 列元素出发的右下方 45 度的射线作
镜面反转，即得到𝐴的转置。