牛客挑战赛 56 D

给出一个排列 \(p\)，求满足条件的三元组 \((i, j, k)\) 个数：

• \(1 \le i < j < k \le n\)
• \(\gcd(p_i, p_j) = \gcd(p_j, p_k)\)

\(n \le 10 ^ 5\)。

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　　莫比乌斯反演

　　感觉大半年没有复习过莫比乌斯反演了，于是这个题直接帮我复习了一下（真 康复训练）。

　　考虑固定 \(j\) 计算贡献，然后就是求前缀和后缀中 \(\gcd(p_i, x) = k\) 的个数了，记出现之前每个数出现次数为 \(cnt\)，那么贡献为：

\[\begin{aligned} ans &= \sum_{i = 1}^{\left\lfloor\frac{n}{k}\right\rfloor}cnt_{ik}[\gcd(i, \frac{x}{k}) = 1]\\ &=\sum_{i = 1}^{\left\lfloor\frac{n}{k}\right\rfloor}cnt_{ik}\sum_{d | \gcd(i, \frac{x}{k})} \mu(d)\\ &=\sum_{d | \frac{x}{k}}\mu(d) \sum_{i = 1}^{\left\lfloor\frac{n}{kd}\right\rfloor} cnt_{ikd}\\ \end{aligned} \]

　　动态维护后面那个 \(cnt\) 即可。

　　复杂度好像是 \(1 \sim n\) 所有约数的约数个数之和。

　　代码