AGC 做题合集 #6

书接上回，代码可以在此处查看，对于 VP 的题目，可以在这里看代码。

1. AGC032C Three Circuits^[1]
2. （VP）AGC025C Interval Game^[2]
3. （VP 补题）AGC025D Choosing Points^[3]
4. （VP 补题）AGC025F Addition and Andition^[4]
5. AGC056C 01 Balanced^[5]
6. AGC043C Giant Graph^[6]
7. AGC024F Simple Subsequence Problem^[7]
8. AGC031C Differ by 1 Bit^[8]
9. （VP）AGC022C Remainder Game^[9]
10. （VP 补题） AGC022E Median Replace^[10]

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1. AGC032C Three Circuits

   • 有一张 $N$ 个点 $M$ 条边的简单无向连通图。
   • 请你判断能否将边分成三个集合，每个集合都是一个可以多次经过重复点的环。
   • $1 \leq N, M \leq 10^5$。

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   给一个萎做法：

   考虑直接构建欧拉回路，然后根据欧拉回路剖分出尽可能多的环，如果环数 $< 3$ 直接寄了。

   当然，欧拉回路会让环数更小，于是这个是萎的，但是我们发现不同的起点和遍历顺序 shuffle 几下，多跑几遍，然后就过了。

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   考虑正经做法：

   • 首先，根据欧拉回路对于度数的要求，只要存在一个点的度数是奇数，那么直接寄了。

   • 因为是联通图，如果存在一个点的都市 $\ge 6$，那么直接是 OK 的。

   • 接下来只有度数为 $2,4$ 的情况：

     • 如果全部度数都是 $2$，就是一个大环了，直接寄了。
     • 考虑度数为 $4$ 的点的个数，如果只有 $1$ 个，那么就是寄了；如果有 $3$ 个，手玩可以发现无论如何都是 OK 的；对于两个点，我们可以考虑这个中间是不是连着一堆长长的链，如果是，就寄了；否则就是 OK 的。
   ↩︎

2. AGC025C Interval Game

   • 数轴上有 $N$ 个闭区间，第 $i$ 个闭区间为 $[L_i,R_i]$。
   • A 和 B 玩游戏，A 初始在原点 $0$，每次 B 选择一个还未选过的区间，A 要走到任意一个属于该区间的点。最后 A 要回到 $0$。
   • A 希望最小化自己走过的路程，B 希望最大化 A 走过的路程，在两者都采取最优策略的情况下，求 A 走过的路程。
   • $1\le N\le 10^5$，$-10^5\le L_i<R_i\le 10^5$。

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   手玩样例可以发现，每次我们的移动，一定是一次走到左端点最右的区间，接下来一次走到右端点最左的区间……如此往复交替进行（最多开始先后顺序不一样）。

   于是可以枚举开始的操作方向，set 维护即可。 ↩︎

3. AGC025D Choosing Points

   给定 $n, D_1,D_2$ , 要求构造一个在 $2n\times 2n$ 的网格中选出 $n^2$ 个点的方案, 使得任意两点间的距离不为 $\sqrt {D_1}$ 或 $\sqrt {D_2}$.

   $n\leqslant 300, D\leqslant 2\times 10^5$。

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   日！又是碰巧猜对了“一个距离就是二分图”的结论，结果卡在“两个点就不是二分图了该怎么办啊啊啊”上面😂不过这个题真的是万分熟悉又耳目一新！一度怀疑如果去年就做了这题，我 NOI 的 Day2 也不会是这个 💩 样子了。

   首先，对于一个距离，我们将所有违反限制的点建立一个图，容易发现这个是一个二分图。

   给几种证明，第一种就是我 VP 的时候猜的时候给出的证明（超级超级感性理解的猜测），图一乐呵：

   首先，如果出现了奇环，比较平凡的情况是三个点构成了一个等边三角形，只要证明不存在这种三角形即可（猜的）：

   我们可以发现，我们几乎画不出来这种图形，如果画出，一定有一个格点直角三角形满足两个直角边的比例是 $\tan 15^{\circ}$，这是无理数，因此不可能！

   一种比较正经的证明：

   考虑令 $D = 4^tp$，其中 $p \not\equiv 0 \pmod 4$，所有距离为 $D$ 的点可以表示为 $(a 2^t, b 2^t)$，其中 $a^2 + b^2 = p$。

   • 如果 $p \equiv 3 \pmod 4$，不存在解，任意染色。
   • 如果 $p \equiv 2 \pmod 4$，那么 $a, b$ 一个是奇数，一个是偶数，根据 $x + y$ 奇偶染色。
   • 如果 $p \equiv 1 \pmod 4$，那么 $a, b$ 都是奇数，直接根据 $x$ 染色即可。

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   接着我就陷入了两个点是什么图的情况了……

   其实可以将两个图分开，两个二分图，需要选出一个点集，满足这个点集在两个二分图上面都是独立集。我们可以在两个二分图上面分别染色，每个点在一个图上面有 $2$ 中染色情况，两个图上就有 $4$ 中情况，点数是 $4n^2$ 的，根据鸽巢原理，$4$ 个集合一定存在一个集合满足点数 $\ge n^2$。 ↩︎

4. AGC025F Addition and Andition

   给定长度为 $n$ 的二进制数 $x$ 和长度为 $m$ 的 $y$ 对他们进行 $k$ 次以下操作：

   • 令$z=x \vee y$，并将 $x$ 和 $y$ 加上 $z$。

   求出 $k$ 次操作后的 $x$ 和 $y$。

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   这个题启示了我们要考虑每个 $1$ 最后会怎么移动。

   只有一对 $1$ 才会移动，于是我们可以考虑维护每一对 $1$ 的贡献，如果从低位到高位，这个会产生一堆影响，并且高位是不确定的，于是我们要考虑从高位到低位计算答案。

   如果这里有一对 $1$，每次操作，它们都会向前移动一格，如果前面都是 $0$，这个不要管，如果存在 $1$，那么可以就会和这个 $1$ “撞上”，我们可以计算撞上的贡献，如果还是一对 $1$，可以继续推进，因此可以直接使用单调栈维护 $1$ 的位置即可，每次撞上，都会减少 $1$ 的个数，于是复杂度就是 $\mathcal O(n)$ 的。 ↩︎

5. AGC056C 01 Balanced

   构造一个长度为 $n$ 的 $01$ 字符串，满足 $m$ 个条件，第 $i$ 个条件形如 $[l_i, r_i]$ 中 $0$，$1$ 个数相同。如有多解，输出字典序最小的。

   $n \le 10^6, r_i - l_i + 1 \equiv 0 \pmod 2$。

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   直接差分约束，对于限制，$(l - 1, r, 0), (r, l - 1, 0)$，对于相邻的 $(i, i+ 1, 1), (i + 1, i , 1)$ 即可，然后发现全部是正边，显然有解。

   最后根据跑出来的 $dis$ 计算输出答案即可。 ↩︎

6. AGC043C Giant Graph

   给定三个简单无向图 $G_1,G_2,G_3$，其中每个图的点数均为 $n$，边数分别为 $m_1,m_2,m_3$。

   现在根据 $G_1,G_2,G_3$ 构造一个新的无向图 $G$。$G$ 有 $n^3$ 个点，每个点可以表示为 $(x,y,z)$，对应 $G_1$ 中的点 $x$，$G_2$ 中的点 $y$，$G_3$ 中的点 $z$。边集的构造方式如下：

   • 若 $G_1$ 中存在一条边 $(u,v)$，则对于任意 $1\le a, b\le n$，在 $G$ 中添加边 $((u,a,b),(v,a,b))$；
   • 若 $G_2$ 中存在一条边 $(u,v)$，则对于任意 $1\le a, b\le n$，在 $G$ 中添加边 $((a,u,b),(a,v,b))$；
   • 若 $G_3$ 中存在一条边 $(u,v)$，则对于任意 $1\le a, b\le n$，在 $G$ 中添加边 $((a,b,u),(a,b,v))$.

   对于 $G$ 中的任意一个点 $(x,y,z)$，定义其点权为 $10^{18(x+y+z)}$。

   试求 $G$ 的最大权独立集的大小模 $998244353$ 的值。

   $2\le n\le 10^5, 1\le m_1,m_2,m_3\le 10^5$。

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   别看是个 C，但是难度到了 *2800，对着这题想了 $\infty$ 年后，突然灵机一动就会了！

   首先，权值的差异非常大，于是我们可以按照 $x+y+z$ 的顺序选择每个点，如果一个点没有被 ban 掉，我们就直接选择，并且把它在这个 Giant 图上面相邻的点全部 ban 了。

   想想这个过程类似于什么，考虑一个博弈游戏。

   我们有三堆石头，对应三张图 $G_1, G_2,G_3$，Alice 和 Bob 轮流操作，每个人操作的时候，可以选择 $i \in [1, 3], a < b, (a, b) \in G_i$ 且第 $i$ 堆石子的个数为 $a$，然后让第 $i$ 堆石子的个数变成 $a$ 个，如果一个人不能操作了，那么就会输。

   这个游戏的必输态就是我们最后选择的最大独立集，每次我们按照 $x+y+z$ 选择点，如果一个点没有被 ban 就是必输态，然后把它的后继点全部设为必胜点。

   这是 $3$ 个博弈的游戏的组合问题，我们只要对于每个游戏，每张图求出其 $\rm SG$ 函数，然后我们就要在三张图上面选择 $i, j, k$，满足 $\rm SG(1, i) \oplus SG(2, i) \oplus SG(3, i) = 0$，贡献就是 $10^{18(i + j + k)}$，这个可以简单的使用 $\rm FWT$ 解决。

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   PS：写完后瞟了一眼题解才发现傻了，实际上 $\rm SG$ 函数不超过 $\sqrt{m}$ 的，直接枚举即可。 ↩︎

7. AGC024F Simple Subsequence Problem

   有一个 01 串集合 $S$，其中每个串的长度都不超过 $N$，你要求出至少是 $S$ 中 $K$ 个串的子序列的最长串，如果有多解，输出字典序最小的那组解。

   由于 $S$ 可能很大，因此我们是这样描述 $S$ 的：

   • 你将得到 $(N+1)$ 个 01 串，第 $i$ 个串的长度为 $2^{i-1}$。
   • 第 $i$ 个字符串的第 $j$ 个字符，代表数字 $(j-1)$ 的、长度为 $(i-1)$ 的二进制表示是否出现在 $S$ 中。

   $N \leq 20$。

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   考虑如何判断一个串 $A$ 是 $B$ 的子序列，我们可以维护一个位置 $pos$，然后枚举 $A$ 的每一个位置 $x$ ，找到 $B$ 中 $pos$ 后面第一个和 $A[x]$ 相同的 $pos'$，然后 $pos \gets pos'$ 即可。

   于是我们可以记录一个 DP，$f(A|B)$ 表示目前已经进入子序列自动机完成匹配的部分是 $A$，剩下待匹配串是 $B$ 的方案数。

   每次转移的时候，考虑让什么进入子序列自动机即可，然后将一大段删掉。

   因为 $A, B$ 的长度都是 $20$ 级别，我们不能全部记录，于是可以直接记录 $AB$ 合在一起的长度，已经 $AB$ 合在一起的情况，每次枚举 $|A|$ 然后转移。 ↩︎

8. AGC031C Differ by 1 Bit

   将 $0$ $\sim$ $2^n-1$ 排成一个排列 $P$ 满足：

   1. $P_1=A$。
   2. $P_{2^n}=B$。
   3. $P_i$ 与 $P_{i+1}$ 在二进制表示下只相差 $1$ 位。

   若无满足条件的 $P$，输出 NO。

   否则第一行输出 YES，第二行输出任意一个满足条件的序列。

   $n \le 17$。

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   首先，如果 $A \oplus B$ 二进制下 $1$ 个数是奇数一定有解。

   至于构造，可以考虑递归构造，定义 $\tt solve(n, A, B)$ 表示问题的解。

   首先，我们假设问题是 $\tt solve(n, 0, B)$，并且 $B$ 第 $n- 1$ 位为 $1$。我们可以类似于格雷码，递归构造 $\tt solve(n - 1, 0, 1)$ 和 $\tt solve(n - 1, 1, B')$，其中 $B'$ 为 $B$ 去掉第 $n - 1$ 位的 $1$ 的结果，将后者集体 $\oplus$ $2^{n - 1}$ 即可。

   我们找到 $B$ 的第一个为 $1$ 的位置（一定存在），然后就是上面问题将答案中的 $j$ 和 $n - 1$ 位交换结果，于是正式解决了 $\tt solve(n, 0, B)$。

   最后求出 $\tt solve(n, 0, A \oplus B)$，将答案 $\oplus A$ 即可，这个就是问题 $\tt solve(n, A, B)$ 问题了。 ↩︎

9. AGC022C Remainder Game

   给定一个序列 $A$，希望通过若干次操作将其变为目标序列 $B$。

   一次操作为选择一个正整数 $k$，同时任意选择一些数 $a_i$ 将它们变成原数 $a_i$ 除以 $k$ 的余数（相当于对每一个数任意选择变化或不变化），这次操作的代价为 $2^k$。

   总代价为所有操作代价之和，求最小总代价。

   如果无论如何也不能变成 $B$ 序列，输出 -1。

   $n, a_i \le 50$。

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   VP 的时候想其他奇奇怪怪的问题去了，导致 $\infty$ 年才切……

   不会吧，不会吧，有人第一眼想到的是 DP 吧……

   注意到代价差异比较大，于是直接从大到小贪心，能不选一个 $k$ 就不选一个 $k$。

   如果不选当前的 $k$，那么我们就将之前的所有选的数和之后所有 $<k$ 的数拿出来，$\tt check$ 一下是否合法。

   显然，直接建图 BFS 即可。 ↩︎

10. AGC022E Median Replace

    有个奇数长度的 $01$ 串 $s$ 其中有若干位置是 ?。

    每次可将 $3$ 个连续的字符替换成这三个数的中位数。

    求有多少方案将 $？$ 替换成 $0/1$ 使得进行 $\frac{N-1}{2}$ 次操作后的字符串是 $1$。

    $|s| \le 30000$。

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    想到了用栈，但是感觉不行于是弃疗选择打表了🤣，自闭了……

    考虑如何判定，我们维护一个栈，满足栈底到栈顶是一长段 $1$ 然后是一长段 $0$ 构成。

    考虑加数：

    • 加 $0$：

      • 栈顶是 $0$：如果有两个，直接发动技能变成只有 $1$ 个 $0$，显然更利于后面的结果，否则直接加；
      • 栈顶是 $1$：直接加！

    • 加 $1$：

      • 栈顶是 $0$：$01$ 抵消了，后面这 $3$ 个数取决于之后的数，于是可以删除栈顶的 $0$；
      • 栈顶是 $1$：如果有两个 $1$，不加（已经比较优秀了，最后答案一定是 $1$），否则直接加。

    最后只要满足 $1$ 个数 $\ge$ $0$ 个数即可。

    显然，栈中间的 $01$ 个数不超过 $2$，于是通过 DP 记录 $01$ 个数即可。 ↩︎