UR #4
代码见 UOJ/UR#4 · yinjinrun/code-public-2 - 码云 - 开源中国 (gitee.com)。
UOJ51 【UR #4】元旦三侠的游戏
给出三个整数 \(a, b, n\)，保证 \(a \geq 2\)，\(b \geq 1\)，\(a^b \leq n\)。两人轮流进行操作，每人每次可以选择将 \(a\) 的值加上 \(1\)，或者将 \(b\) 的值加上 \(1\)。但是任何人操作以后都不能违背 \(a^b \leq n\) 这个条件，无法再进行操作的人就输掉了这一场游戏。
给定 \(n\)，\(m\) 组询问，每次给出 \(a, b\)，问先手是否必胜。
\(n \le 10^9, a^b \le n\)。
博弈论 动态规划
和官方题解不一样，希望不会被叉。
考虑对于朴素的 DP 进行加速，我们可以发现，每两轮考虑，前面一定是 \(a \gets a + 1, b \gets b+ 1\)，直到不能进行此类操作，接着跑朴素的 DP + 记忆化即可。
为什么前面一定是 \(a \gets a + 1, b \gets b + 1\) 呢？考虑进行到最后，如果先手能必胜，那么在前面若干轮，不管后手的选择什么，先手始终选择对立的一个令 \(a \gets a + 1, b \gets b + 1\)，然后可以拖到这个局面，最后获胜。
如果最后先手没有办法必胜，那么后手可以类似地进行对立的操作，还是将先手拖到这个局面，最后让先手输掉比赛。
于是可以简化一下状态数目了，最后对于 DP 记忆化一下，再加个对于 \(b = 1\) 的剪枝即可。
UOJ52 【UR #4】元旦激光炮
生蛋侠、圆蛋侠和零蛋侠分别有 \(n_a, n_b, n_c\) 个激光炮。生蛋侠的激光炮的威力分别为 \(a_0, a_1, \dots, a_{n_a - 1}\)，圆蛋侠的激光炮的威力分别为 \(b_0, b_1, \dots, b_{n_b - 1}\)，零蛋侠的激光炮的威力分别为 \(c_0, c_1, \dots, c_{n_c - 1}\)。满足 \(a_{i - 1} \leq a_i\)，\(b_{i - 1} \leq b_i\)，\(c_{i - 1} \leq c_i\)。
每次你可以问一个激光炮的威力，你需要告诉他们威力第 \(k\) 小的激光炮威力是多少。你最多可以询问 \(100\) 次。
对于所有测试点，\(0 \leq n_a, n_b, n_c \leq 10^5\)，\(1 \leq a_i, b_i, c_i \leq 10^9\)。
交互
居然没有想到……
考虑令 \(t = \left\lfloor\frac{k}{3}\right\rfloor\)，然后取出 \(a\) 的第 \(t\) 个，\(b\) 的第 \(t\) 个，\(c\) 的第 \(t\) 个，假设 \(a\) 的最小，那么我们可以排除 \(a\) 的前 \(t - 1\) 个元素，然后继续查找，每次 \(k \to \frac{2}{3}k\)，用的次数为 \(3\)，次数不超过 \(100\) 次。注意当 \(k \le 2\) 的时候暴力比较即可。
UOJ53 【UR #4】追击圣诞老人
给出一棵 \(n\) 个点的树，每个点有一个权值 \(w_i\)，然后我们定义 \(i\) 可以到达 \(j\) 当且仅当 \(j\) 在 \(a_i, b_i, c_i\) 形成的最小连通块中，我们定义一条序列的权值为其 \(w_i\) 之和，一个序列 \(\{x_i\}\) 合法当前 \(x_i\) 能到达 \(x_{i+ 1}\)，求所有合法序列中前 \(k\) 小的权值。
\(n,k \le 5\times 10^5\)，保证答案 \(\le 10^8\)。空间 \(\rm 100MB\)。
树/树链剖分 数据结构/线段树 堆
卡常题。
看到题，这个可以类似于 \(\rm K\) 短路，直接左偏树！然后扣链直接搞一个线段树套可持久化左偏树！结果写到一半发现空间根本开不下/kk。
首先，最小连通块是好搞的，只有几个路径，在纸上面画一画就行了。\(k\) 不大，于是可以考虑一条一条从堆里面取出，然后进行拓展。关键是如何拓展，我们可以将所有路径拆成一条一条直上直下的链，每次相当于找到这个链里面的最小的点（可以树剖+线段树求出），然后：
- 将链断开，分成两条链，然后分别计算权值。
- 从这个最小的点后面加点。
实现并不困难。关键是卡常，给出几个卡常小技巧，让你即使有如我一样的大的时空常数（似乎这个题时空一起卡，还有恶心的 \(\rm HACK\) 数据），也可以轻松通过：
- 将所有的
vector换成数组。 - 使用数组堆（可以使用 \(\rm STL\) 中的
make_heap，push_heap，pop_heap简化写法，具体使用方法可以自行搜索）。 - 注意到每个重链都是一个线段树，于是不要以 \(1\sim n\) 建立线段树，求的时候有空间破坏了，每个重链搞一个动态开点线段树。
- 开始的时候线段树为了方便丢了一个
pair进去比较大小的时候计算位置，有点浪费，于是可以直接重载运算符，比较编号，这样只要一个数即可。
