Luogu5591 小猪佩奇学数学

给定 $n,p,k$,询问

$$\sum_{i=0}^n \binom n i \times p^{i} \times \left\lfloor \frac{i}{k} \right\rfloor \bmod 998244353$$

对于 $100\%$ 的数据，$1 \leq n,p <998244353,k \in \{2^{w}|0 \leq w \leq 20\}$。

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　　数学/反演/单位根反演

　　首先，考虑一个比较 easy 的问题，$k = 1$ 怎么做：

$$\begin{aligned} &\sum_{i = 0}^n \binom{n}{i} p^i i\\ =& \sum_{i = 0}^n \frac{n}{i} i\binom{n - 1}{i - 1} p^i\\ =& np \sum_{i = 0}^{n - 1} \binom{n - 1}{i} p^i\\ =& np (p+ 1)^{n - 1} \end{aligned}$$

　　可以直接计算。

　　整个式子中 $\left\lfloor\frac{i}{k}\right\rfloor$ 是最烦人的，如果我们所有的 $i \bmod k = 0$，那么直接将 $k = 1$ 的答案算出来然后除以 $k$ 即可，于是我们可将算出 $k = 1$ 的答案，然后减去 $\sum_{i = 0}^n \binom{n}{i}p^i (i \bmod k)$，最后除以 $k$。

　　而数据范围中的 $k = 2^t$ 已经暗示了考虑 $i \bmod k$ 然后进行单位根反演。

　　枚举 $i \bmod k = d$，有：

$$\begin{aligned} &\sum_{i = 0}^n \binom{n}{i}p^i (i \bmod k)\\ =&\sum_{d = 0}^{k - 1} d \sum_{i = 0}^n \binom{n}{i} p^i [ k | (i - d)] \\ =&\sum_{d = 0}^{k - 1} d \sum_{i = 0}^n \binom{n}{i} p^i \sum_{j = 0}^{k - 1} \omega_k^{(i - d)j}\\ =&\sum_{j = 0}^{k - 1}\left( \sum_{d = 0}^{k - 1} d\omega_k ^{-jd}\right) \left(\sum_{i = 0}^{k - 1} \binom{n}{i} p^i \omega_k^{ij}\right)\\ =&\sum_{j = 0}^{k - 1}\left( \sum_{d = 0}^{k - 1} d\omega_k ^{-jd}\right) (\omega_k^{j}p + 1)^n \\ \end{aligned}$$

　　结果卡在了第一个式子上面，这个可以考虑一个问题：

令 $T(n, x)$ 表示 $\sum_{i = 0}^n ix^i$，然后有：

$$(1 - x)T(n, x) =\left( \sum_{i = 1}^n x^i \right)- n x^{n + 1}\\ T(n, x) = \frac{\frac{1 - x^{n +1}}{1 - x} - n x^{n+ 1}}{1 - x}$$

　　于是就可以 $\mathcal O(k \log k)$ 计算了。