Gym102803E Everybody Lost Somebody / 4.6 校内考试 Dark Blue（hush）

对于一个串 $s$，给出 $s$ 串的 $\{sa_i\}, \{ht_i\}$（height），其中部分 $ht_i$ 可能不知道，用 $-1$ 表示。求这个串。如有多解，输出字典序最小的。保证存在解。
$n \le 5000$，考试版本 $n \le 10^6$。

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　　字符串 并查集 后缀数组 拓扑排序

做法 1

　　这个部分的前半段继承于考场做法。

　　考虑 $ht_i \neq -1$ 的情况，可以直接将所有相同的缩到一起，然后不同的连一条 $1$ 的边，然后对于缩完的块拓扑排序，求出字典序最小的解。

　　这个缩到一起的过程，我们发现我们求 $ht$ 的时候有一个比较代码，这个代码会告诉我们那些字符串是相等的，然后模拟就完事了。

　　对于 $ht_i = -1$ 的情况，我们发现接下来的问题有点困难了，但是我们观察 $sa_i$ 和 $sa_{i - 1}$，如果我们忽略 $sa_i$ 这个字符，考虑 $sa_i + 1$ 这个后缀，忽略 $sa_{i - 1}$ 这个字符，考虑 $sa_{i - 1}+1$ 这个后缀，这两个后缀的大小关系是知道的，然后就可以讨论以下：

• 如果 $rk_{sa_i + 1} < rk_{sa_{i - 1}+1}$，那么 $s[sa_{i - 1}] < s[sa_i]$。
• 否则，$s[sa_{i - 1}] \le s[sa_i]$。

　　两种分别连上 $0$ 的边和 $1$ 的边，然后拓扑排序即可。

　　但是拓扑排序可能会出现一个 $0$ 环，于是可以按照后缀大小的顺序计算答案。

　　代码。

做法 2

　　虽然上面的做法可以直接通过校内考试出题人的数据，但是直接在 CF 上面被卡了。

　　因为 CF 是 $5000$ 的范围，可以直接暴力合并。

　　进一步可以发现，只要在合并的时候保持后缀大小顺序的连边，就可以通过了。

　　也就是：

void merge(int x, int y) { x = gf(x), y = gf(y); if(rk[x] < rk[y]) swap(x, y); if(x != y) fa[x] = y; }

　　代码。如果这个做法成立，可以通过倍增优化并查集进一步达到 $\mathcal O(n \log n \alpha)$。

做法 3

　　不幸的是，我擅长制造假做法，同时上面的不够优美而且不够正确。

　　通过对拍，可以直接卡掉：

20
20 9 17 10 4 12 19 8 7 1 3 18 2 16 11 6 15 5 14 13 
1 1 -1 -1 2 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 2 -1 -1 2 -1 -1 

　　这个会输出：

bccaddbbaadadeddacba

　　正确答案应该是：

bccaedbbaadaeeedacba

　　这个被叉实际上是对于信息利用不完全，有些点关系没有合并到，而正确的应该是对于 $s[sa_i + j] = s[sa_{i - 1}+j]$ 这个条件，$[rk_{sa_{i+j}}, rk_{sa_{i - 1}+j}]$ 这段区间的字符都是相等的，之前的做法只合并了左右端点，因此有问题。

　　于是每次都是合并 $rk$ 上面的一段，使用并查集即可。

　　代码。

　　一次制造一堆假做法也没谁了😅。