UOJ221 [NOI2016] 循环之美

牛牛是一个热爱算法设计的高中生。在他设计的算法中，常常会使用带小数的数进行计算。牛牛认为，如果在 \(k\) 进制下，一个数的小数部分是纯循环的，那么它就是美的。现在，牛牛想知道：对于已知的十进制数 \(n\) 和 \(m\)，在 \(k\) 进制下，有多少个数值上互不相等的纯循环小数，可以用分数 \(\frac xy\) 表示,其中 \(1≤x≤n,1≤y≤m\)，且 \(x,y\) 是整数。一个数是纯循环的，当且仅当其可以写成以下形式：

\[a.\dot{c_1} c_2 c_3 \dots c_{p - 1} \dot{c_p} \]

其中，\(a\) 是一个整数，\(p≥1\)；对于 \(1≤i≤p\)，\(c_i\) 是 \(k\) 进制下的一位数字。
\(n \le10^9\)，\(m \le 10^9\)，\(k \le 2\times 10^3\)。

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　　数学 结论 莫比乌斯反演 杜教筛

　　这几天 \(\tt LOJ\) 登不上，于是换成了 \(\tt UOJ\) 了，至少有两个样例，洛古只有一个样例。

　　猜出了结论，然后只能一波暴力莫比乌斯反演获得了 \(72\) 分的好成绩。

　　然后就不会了……

　　讲一下怎么猜到结论吧，首先我们对于 \(k\) 进制下，循环节长度为 \(c\) 的小数 \(A\)，一定有 \(k^c A - A = t\)，其中 \(t\) 是一个整数，也就是如果一个分数 \(\frac{x}{y} = \frac{t}{k^c - 1}\)，其中 \(1 \le x \le n, 1 \le y \le m\) 的话，一定是合法的。

　　枚举所有 \(1 \le x \le n, 1 \le y \le m\) 的分数 \(\frac{x}{y}\)，首先我们要求 \(\gcd(x, y) = 1\)，然后考虑什么分数不合法，然后猜以下，如果 \(\gcd(y, k) \neq 1\)，那么一定不合法，我们只能初步判定有两个条件，无法说明其正确性，但是只要暴力跑一下第 \(2\) 组样例（可能要十几分钟），然后就可以发现这个是正确的了！

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　　以上是我发现的过程，好像证明也差不多，可以根据 \(k^c A - A = t\) 展开，得到 \((k^c - 1)x = ty\)，然后有 \(k^cx \equiv x \pmod y \Leftrightarrow k^c \equiv 1 \pmod y \Leftrightarrow \gcd(k, y) = 1\)，于是完成了证明。

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　　然后我们的式子就是：

\[\begin{aligned} &\sum_{i = 1}^m[\gcd(i, k) = 1] \sum_{j = 1}^n [\gcd(i, j) = 1]\\ \end{aligned} \]

　　暴力可以直接展开多次，然后看之前的代码即可。

　　正解更为巧妙，我们令答案为 \(f(n, m, k) = \sum_{i = 1}^m[\gcd(i, k) = 1] \sum_{j = 1}^n [\gcd(i, j) = 1]\)，然后有：

\[\begin{aligned} &f(n, m, k)\\ =&\sum_{i = 1}^m[\gcd(i, k) = 1] \sum_{j = 1}^n [\gcd(i, j) = 1]\\ =&\sum_{d | k} \mu(d) \sum_{i = 1}^{\left\lfloor\frac{m}{d}\right\rfloor} \sum_{j = 1}^n [\gcd(i, j) = 1][\gcd(d, j) = 1]\\ =&\sum_{d | k} \mu(d) f(\left\lfloor\frac{m}{d}\right\rfloor, n, d) \end{aligned} \]

　　递归解决即可，对于 \(k = 1\) 的情况，可以直接莫反后杜教筛解决。

　　代码