Luogu6199 [EER1]河童重工

给出两棵 $n$ 个点的树，然后求对于一张 $n$ 个点，$i, j$ 之间的边权为 $d_1(i, j) + d_2(i,j)$ 的完全图上最小生成树大小。$d_i$ 表示在第 $i$ 棵树上面的距离。
$1 \le n \le 10^5, w_i \le 5000$。

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　　图论 最小生成树 Boruvka 算法 点分治

Sub Problem

Tree MST：

给定一棵 $n$ 个节点的树，现有有一张完全图，两点 $x,y$ 之间的边长为 $w_x+w_y+dis_{x,y}$，其中 $dis$ 表示树上两点的距离。求完全图的最小生成树。
$n \leq 2 \times 10^5$。

　　考虑使用 Boruvka 算法，每次相当于每个点有一个颜色（所属联通块），然后可以考虑换根 DP，每个点维护 {距离它距离的点 $x$，在所有和 $x$ 颜色不同的点中距离它最近的点 $y$}，然后可以求出每个距离每个联通块最近的联通块的距离。单次复杂度 $\mathcal O(n)$，总复杂度 $\mathcal O(n \log_2 n)$。

本题做法

　　最小生成树可以直接做，或者保留有用边然后直接 Kruskal，这里使用后者。

　　考虑对于第一棵树进行点分治，然后我们令 $w_i$ 表示 $i$ 和当前分治重心的距离，然后将当前分治所涉及的点在第 $2$ 棵树上面建立虚树。

　　然后问题相当于考虑一张完全图，每条边的边权为 $dis(i, j) + w_i + w_j$，求这个图的最小生成树。这个就是子问题了，我们可以求出这个最小生成树的边，然后保留这些重要的边，单次求解最小生成树是 $\mathcal O(n \log_2 n)$ 的，然后每次保留的边的量级是 $\mathcal O(n)$ 的，因此总的保留边数是 $\mathcal O(n \log_2 n)$ 的。

　　最后再跑一遍 Kruskal，复杂度 $\mathcal O(n \log ^2_2n)$。

　　代码