Luogu6199 [EER1]河童重工
给出两棵 \(n\) 个点的树，然后求对于一张 \(n\) 个点，\(i, j\) 之间的边权为 \(d_1(i, j) + d_2(i,j)\) 的完全图上最小生成树大小。\(d_i\) 表示在第 \(i\) 棵树上面的距离。
\(1 \le n \le 10^5, w_i \le 5000\)。
图论 最小生成树 Boruvka 算法 点分治
Sub Problem
给定一棵 \(n\) 个节点的树，现有有一张完全图，两点 \(x,y\) 之间的边长为 \(w_x+w_y+dis_{x,y}\)，其中 \(dis\) 表示树上两点的距离。求完全图的最小生成树。
\(n \leq 2 \times 10^5\)。
考虑使用 Boruvka 算法，每次相当于每个点有一个颜色（所属联通块），然后可以考虑换根 DP，每个点维护 {距离它距离的点 \(x\)，在所有和 \(x\) 颜色不同的点中距离它最近的点 \(y\)}，然后可以求出每个距离每个联通块最近的联通块的距离。单次复杂度 \(\mathcal O(n)\)，总复杂度 \(\mathcal O(n \log_2 n)\)。
本题做法
最小生成树可以直接做，或者保留有用边然后直接 Kruskal，这里使用后者。
考虑对于第一棵树进行点分治，然后我们令 \(w_i\) 表示 \(i\) 和当前分治重心的距离，然后将当前分治所涉及的点在第 \(2\) 棵树上面建立虚树。
然后问题相当于考虑一张完全图，每条边的边权为 \(dis(i, j) + w_i + w_j\)，求这个图的最小生成树。这个就是子问题了，我们可以求出这个最小生成树的边，然后保留这些重要的边，单次求解最小生成树是 \(\mathcal O(n \log_2 n)\) 的，然后每次保留的边的量级是 \(\mathcal O(n)\) 的，因此总的保留边数是 \(\mathcal O(n \log_2 n)\) 的。
最后再跑一遍 Kruskal，复杂度 \(\mathcal O(n \log ^2_2n)\)。
