CF1630F Making It Bipartite

题面

图上有 \(n\) 个点，点有点权，点权互不相同，如果两个点点权成倍数关系，那么他们有边。
现在希望删去一些点，来使图变成二分图，求出最少删去多少点。
\(n,a_i \le 5\times 10^4\)。

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题解

　　暴力 网络流 最小链覆盖

　　终于落实了咕了两个月的题目（感谢 C202044zxy 催更）

　　首先，暴力建图是显然复杂度正确的（互不相同 \(\to\) 调和级数）。

　　但是这个图有些性质，也就是我们不能找到一条路径 \(x \to y \to z\)，这样一定有边 \(x \to z\)，那么即形成了三元环了。

　　这个条件等价于每个点要么不存在，要么只有入度，要么只有出度。

　　然后到这里就不会了。

　　之后可能算一个建模套路吧，我们将每个点 \(x\) 拆成 \(x\) 和 \(x'\)，\(x\) 表示这个点是最后只有入度，\(x'\) 表示最后只有出度，然后我们在相矛盾的点之间连上边，最后要求尽量选择更多的点使得两两之间无边。（这个有点类似与 \(\tt 2sat\)）。

　　但是这个和 \(\tt 2sat\) 不同，我们可以删点，也就是一个点的两个分身都不选，同时这个问题要求选择的点尽可能地多。

　　然后我们可以发现，我们可以将边以一种方式定向成为有向图，并且成为一个 \(\tt DAG\)，然后就转化成最长反链的问题了。

　　通过简单尝试，我们可以找到以下连边方案：

• \(u \to u'\)，表示入度出度不能同时拥有。
• 对于每条边 \(u \Rightarrow v\)，我们有 \(u \to v', u \to v, u' \to v'\)，也就是两个点只能 \(u\) 有出度，\(v\) 有入度，其他情况是不合法的。

　　显然这是一个偏序集，也就是一个 DAG。

　　直接建立二分图，跑出最长反链就行了。因为 最长反链 = 最小链覆盖 = 点数 - maxflow = 2 * n - maxflow，因此答案就是 n - (2 * n - maxflow) = maxflow - n。

　　代码

启示

1. 当发现无法表示当前决策 / 状态的时候，可以选择拆点。（感觉是 \(\tt 2sat\) 或者网络流 的老套路了，但还是时不时忘记 😅）
2. 无向图最大独立集是 N-P 困难的，但是我们可以通过题目的性质建立偏序集，然后转化为 DAG，于是问题就可以用最长反链解决了。由此可见通过构造将无向图转为有向图还是比较有用的。