LOJ 2707「BalticOI 2015」拔河 / 3.14 校内考试 欢乐感 （happy）
\(2n\) 个人，每个人可以选择站左边或者右边，每边有 \(n\) 个位置，每个人在左边右边都各自有一个想要站的位置，同时每个人都有一个力量值，现在给定一个整数 \(k\)，问能否分出两个队，这两边各有 \(n\) 名选手，并且他们站在想站的位置（不能多人站在同一位置），并且双方力量和之差不超过 \(k\)？
\(k\le 20n,1\le l_i,r_i\le n,1\le s_i\le 20,n\le 3\times 10^4\)（考试时：\(n \le 8\times 10^4\)，\(0.5s\)）
背包 结论 动态规划
首先，如果一个人想站左边的 \(a_i\) 位置，想站右边的 \(b_i\) 位置，那么我们可以将左部点 \(a_i\) 和右部点 \(b_i\) 连一条边权为力量值的边，然后可以发现，我们的问题转化为将边上的边权分给一侧的点，使得左部右部的点边权之和的差不超过 \(k\)。
然后可以发现结论了：点数是 \(2n\) 的，边数也是 \(2n\) 的，而且如果有一个点没有连边，那么就是 NO，因此，这个图是一个基环树，然后可以简单地画图发现，对于基环树树的部分，边的分配方式是确定的，但是对于环的分配方式，可以有两种选择（顺时针以及逆时针，注意这个环一定是一个偶环）。
然后对于环的分配方式，我们会有两种选择，设每种选择的值会让左右两边有 \(\Delta\) 的差距，那么我们可以使用背包算出最小差距。
原题可以直接使用 bitset 进行优化背包然后过去。
然后考试的时候被卡了，这个考虑一种更加快速的办法，我们背包的值域为 \(2sn\)，那么不同的数个数为 \(\sqrt{2sn}\)，那么可以直接二进制分组优化多重背包，然后再套一个 bitset 进一步加速，复杂度为 \(\mathcal O(\frac{(2sn)^{\frac{3}{2}}\log n}{\omega})\)。
