ABC241H Card Deck Score 题解

有 $N$ 种牌，第 $i$ 种牌有 $B_i$ 张，每张权值为 $A_i$，请从 $\sum B_i$ 张牌中选出 $M$ 张牌，每一种选择方案的贡献为所有牌的权值之积，求所有方案的贡献之和，对 $998244353$ 取模。
$N \le 16, M \le 10^{18},1 \le A_i \le 998244353, 1 \le B_i \le 10^{17}, M \le \sum B_i$，保证 $A_i$ 互不相同。

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　　数学 生成函数

　　这个题又告诉我，我的生成函数有多么弱/kk。

　　考虑对于每一个牌写出生成函数：

$$F_i(x) = \sum_{j = 0}^{B_i} A_i^{j}x^j = \frac{1 - A_i^{B_i + 1}}{1-A_ix}$$

　　于是我们要求的答案就是：

$$[x^m]\prod_i F_i(x) = [x^m]\frac{\prod_i 1 - A_i^{B_i + 1}}{\prod_i 1 - A_ix}$$

　　因为 $N$ 比较小，于是我们可以轻松地通过枚举子集求出分子部分。

　　现在重点求分母部分：

　　因为除法不是很好解决的，于是我们可以将 $\frac{1}{\prod_i 1 - A_ix}$ 尝试化成： $\sum_i \frac{c_i}{1 - A_ix}$，这样就可展开成为 $\sum_i c_i \sum_{t = 0}^{\infty} A_i^tx^t$。

　　现在，有等式：

$$\frac{1}{\prod_i 1 - A_ix} = \sum_i \frac{c_i}{1 - A_ix}$$

　　我们可以同时乘上 $\prod_i 1 - A_ix$，然后就是：

$$1 = \sum_i c_i \prod_{j \neq i} (1 - A_jx)$$

　　我们尝试代入特殊值，将 $x = A_1^{-1}, A_2^{-1}, \dots,A_n^{-1}$代入原式，然后我们会发现：

$$c_i = \frac{1}{\prod_{j \neq i} 1 - A_jA_i^{-1}}$$

　　然后就求出分子了，将两个生成函数相乘然后求 $x^m$ 的系数即可。

　　代码