BJOI 2018 题目选做

LOJ2492「BJOI2018」二进制

pupil 发现对于一个十进制数，无论怎么将其的数字重新排列，均不影响其是不是 \(3\) 的倍数。他想研究对于二进制，是否也有类似的性质。
于是他生成了一个长为 \(n\) 的二进制串，希望你对于这个二进制串的一个子区间，能求出其有多少位置不同的连续子串，满足在重新排列后（可包含前导 \(0\)）是一个 \(3\) 的倍数。两个位置不同的子区间指开始位置不同或结束位置不同。
由于他想尝试尽量多的情况，他有时会修改串中的一个位置，并且会进行多次询问。
\(1 \leq n,m \leq 100000\)，\(l \leq r\)。

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　　数据结构 线段树 结论

　　其实想清楚了，就不是很难写了。

　　经过手玩仔细推理可以发现对于一个串 \(s\)，我们可以分几种情况判断其合法的条件：

• \(2k(k \ge 1)\) 个 \(1\)：无论如何都是合法的。
• \(1\) 个 \(1\)：肯定不合法。
• \(2k+1(k \ge 1)\) 个 \(1\)：如果被整个串都是 \(1\)，或者只有一个 \(0\)，那么就是不合法的，其他都是合法的。

　　然后我们发现，合法的是不太好统计的，于是正难则反，统计非法的。

　　只要满足一点，那么一个串 \(s\) 非法的情况：

1. 只有 \(1\) 个 \(1\)
2. 奇数个 \(1\)，只有 \(\le 1\) 个 \(0\)

　　考虑使用线段树维护答案：

1. 对于上面的情况 \(1\)，我们可以发现对于每个 \(1\)，它的贡献就是 \((下一个 1的位置 - 这个 1 的位置) \times (这个 1 的位置 - 上一个 1 的位置)\)，也就是左端点的选择方案 \(\times\) 右端点的方案。然后在线段树上面维护左 / 右连续的 \(0\) 的个数，以及 左 / 右 的 \(1\) 的 右 / 左 端点的选择方案，合并的时候讨论增量即可。
2. 对于情况 \(2\)，我们可以维护 \(L(i,j), R(i,j), 0 \le i, j \le 1\) 表示前缀 / 后缀中 \(1\) 的个数 \(\bmod ~ 2 = i\) 且有 \(j\) 个 \(0\) 的个数，合并的时候简单讨论即可，然后可以轻松计算贡献了。
3. 但是还有算重的情况，对于只有 \(1\) 个 \(1\)，并且只有 \(1\) 个 \(0\) 的情况，那么会多算，减去即可（注意只有 \(1\) 个 \(1\)，但是没有其他的情况可以通过赋初值解决）。

　　这个是代码，喜提 LOJ 目前最快解。

LOJ2512「BJOI2018」链上二次求和

　　见此处。

LOJ2511「BJOI2018」双人猜数游戏

Alice 和 Bob 是一对非常聪明的人，他们可以算出各种各样游戏的最优策略。现在有个综艺节目《最强大佬》请他们来玩一个游戏。主持人写了三个正整数 \(s\) 、\(m\) 、\(n\) ，然后一起告诉 Alice 和 Bob \(s \leq m \leq n\) 以及 \(s\) 是多少。（即，\(s\) 是接 下来要猜的 \(m\) 、\(n\) 的下限。）之后主持人单独告诉 Alice \(m\) 与 \(n\) 的乘积是多少， 单独告诉 Bob \(m\) 与 \(n\) 的和是多少。
当然，如果一个人同时知道 \(m\) 与 \(n\) 的乘积以及 \(m\) 与 \(n\) 的和话就能很容易地算出 \(m\) 和 \(n\) 分别是多少，但现在 Alice 和 Bob 只分别知道其中一个，而且只分别知道其中一个，而且他们只能回答主持人的问题，不能交流。从 Alice 或 Bob（见输入）开始 依次询问 Alice/Bob 知不知道 \(m\) 和 \(n\) 分别是多少， Alice/Bob 只能回答知道/不知道。
为了节目效果，为了显示出 Alice 和 Bob 非常聪明，主持人希望 Alice 和 Bob 一共说了 \(t\) 次“不知道 ”以后两个人都知道 \(m\) 和 \(n\) 是多少了 。现在主持人找到你，希望让帮他构造一组符合条件的 \(m\) 和 \(n\) 。
\(1 \leq s \leq 200\)，\(2 \leq t \leq 15\)，输入数据保证有解。

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　　提交答案 动态规划

　　前年的题目，今年落实。。。

　　当时是 ztl 和 M_sea 的 noip 模拟赛蒯的题，今天居然发现了原题！

　　那个时候我刚刚来到 CJ，甚至不知道 ztl 的洛谷 id，只知道 M_sea。转眼间，就轮到我退役了，时间真快啊。

　　我们可以设 \(f(turn, x, y)\) 表示，经过了 \(turn\) 轮之后，对于 \(m = x\)，\(n = y\) 是否当前这个人可以确定答案。

• 当 \(turn = 1\) 时，如果 \(x, y\) 是唯一的一组，那么就是 \(1\)，否则为 \(0\)。

• 对于 \(turn \neq 1\)，如果

  • \(f(turn - 2, x, y)\) 为 \(1\)，也就是这个人上一次可以确定了，那么就是 \(1\)。
  • 对于其他满足当前这个人条件的 \((a, b)\)（如对于 Alice，就是 \(ab = xy\) 且 \(a \le b\) 的对），只有 \((x, y)\) 是不确定的，那么 \(f(turn, x,y)\) 为 \(1\)。

　　然后将 DP 记忆化一下，然后暴力枚举答案进行判断即可。

　　有关的生成器代码和答案：https://gitee.com/yinjinrun/code-public-2/tree/master/LOJ/2511。

　　LOJ2493「BJOI2018」染色不太会证明，自闭了，不更。