Gym102331H Honorable Mention(300iq Contest 2) 题解

题面

给定一个长度为 \(n\) 的数组 \(\{a_i\}\)，和 \(q\) 组询问 \((l, r, k)\) ，表示：

• 求在 \([l, r]\) 这个子数组中恰好选择 \(k\) 个不相交的段，使其权值和最大。

输出最大权值和。
\(n, q, a_i \le 35000\)。

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题解

　　数据结构 整体二分 凸性 线段树 wqs 二分

　　首先，对于序列 \(\{a_i\}\) ，设恰好选择 \(k\) 个不交子段的最大权值为 \(f(k)\)，那么我们可以发现 \(f(k)\) 是一个凸函数。

证明：

考虑一种模拟费用流做法，每次选择一个最大子段，然后将这个子段取负，不断进行 \(k\) 轮，所有取出的子段和就是答案。

注：当 \(k\) 比这个序列中所有正数个数都大的时候，答案就是将所有数从大到小排列，依次选 \(k\) 个的答案。不特判这个的话 \(k\) 较大的时候会寄。

　　然后我们可以在线段树每个节点上面维护 \(f(0 / 1, 0 / 1)\)，表示 (左边是否相邻,右边是否相邻) 的 \(f\) 函数的取值，pushup 的时候，可以对于凸函数合并，然后对于两个都相邻的情况集体位移。

　　询问的话，可以拆成 \(\log\) 个区间，但是我们现在不支持区间的合并。

　　根据凸函数的套路，我们可以使用 wqs 二分，二分一个斜率 \(k\)，然后在线段树的节点上二分找到对应的取值，接着讨论一下和之前端点是否相邻，合并一下即可。

　　复杂度就是 \(\mathcal O(n \log^3n)\)。

　　但是还可以更优，我们可以使用整体二分（更形象地说，应该是 bfs 版的整体二分，这样总共进行 \(\log\) 轮），每一轮，按照斜率从大到小计算当前答案，同时在线段树上面维护一个单调的指针，表示当斜率为 \(k\) 的时候应该切到函数的哪一个位置，然后合并和之前一样。

　　所有指针的总移动次数是 \(\mathcal O(n\log^2n)\) 的，于是少了一个 \(\log\)。

　　合并的细节要看代码。