LOJ2512「BJOI2018」链上二次求和

有一条长度为 \(n\) 的链（ \(\forall 1 \leq i < n\) ，点 \(i\) 与点 \(i+1\) 之间有一条边的无向图）， 每个点有一个整数权值，第 \(i\) 个点的权值是 \(a_i\) 。现在有 \(m\) 个操作，每个操作如下：

• 操作 1（修改）：给定链上两个节点 \(u\)、\(v\) 和一个整数 \(d\)，表示将链上 \(u\) 到 \(v\) 唯一的简单路径上每个点权值都加上 \(d\)。
• 操作 2（询问）：给定两个正整数 \(l\)、\(r\)，表示求链上所有节点个数大于等于 \(l\) 且小于等于 \(r\) 的简单路径节点权值和之和。由于答案很大，只用输出对质数 \(1000000007\) 取模的结果即可。

一条节点个数为 \(k\) 的简单路径节点权值和为这条上所有 \(k\) 个节点（包括端点）的权值之和，而本题中要求是对所有满足要求的简单路径，求这一权值和的和。
由于是无向图，路径也是无向的，即点 \(1\) 到点 \(2\) 的路径与点 \(2\) 到点 \(1\) 的路径是同一条，不要重复计算。
\(n \leq 200000, m \leq 500000, m^\prime \leq 100000, 0 \leq a_i < 1000000007\)。

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　　线段树 数据结构

　　前几天考过一个简单一点的，给出的是一颗树，然后每次的 \(L, R\) 是给定的。

　　然后可以直接点分治计算每个点的贡献，然后每次就前缀和计算即可。

　　对于这个题，我们可以记 \(s_i = \sum_{j = 1}^i a_j\)，然后每次询问的答案就是：

\[ans(l, r) = \sum_{i = l}^r\sum_{j = i}^n s_j - s_{j - i} \]

　　然后记 \(S_i = \sum_{j = 1}^i s_j\)，可以进一步化简柿子：

\[ans(l, r) = \sum_{i = l}^r S_n - S_{i - 1} - S_{n - i} \]

　　也就是分开考虑左端点和右端点的贡献。

　　刚开始我还想着直接维护 \(ans\) 的前缀和，这样的话还要对于 \(S_i\) 进行若干求和，就会比较复杂，然后我们可以注意到，只要维护了 \(S_i\) 就可以求得 \(ans\) 了，于是可以直接考虑维护 \(S_i\) 了。

　　考虑对于 \([l, r]\) 加上了 \(d\)，那么（手动算一下系数就出来了）：

\[\left\{ \begin{aligned} &S_i \gets S_i + \frac{(i - l + 1)(i - l + 2)}{2}d&& i \in [l, r]\\ &S_i \gets S_i + \frac{(r - l + 1)(r - l + 2)}{2} d + (i - r)(r - l + 1)d&& i > r \end{aligned} \right. \]

　　然后我们可以暴力拆开式子，就会发现每次加法的贡献都是一个关于下标 \(i\) 的二次函数，那么可以用线段树维护这个二次函数即可，总体没什么细节，具体式子可以看代码。