CF1088F Ehab and a weird weight formula

题面

给定一棵树，点有点权，其中这棵树满足除了权值最小的点外，每个点都有一个权值比它小的点与它相邻。
要求你重新构建这棵树，使得代价最小。计算代价的方法如下：
现在规定：

• 一个点的代价为：\(\text{deg}_u \times a_u\)，其中 \(\text{deg}_u\) 表示点 \(u\) 的度数，即与 \(u\) 直接相连的节点数。
• 一条边 \((u,v)\) 的代价为 \(\lceil \log_2 \text{dis}(u,v) \rceil \times \min(a_u,a_v)\)，其中 \(\text{dis}(u,v)\) 为 \(u\) 和 \(v\) 在原树中的距离。

一棵树的代价为点的代价 + 边的代价。
保证原树中权值最小的点唯一。
\(n \le 5\times 10^5\)。

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题解

　　生成树 最小生成树 图论

　　将贡献算到边权中：每条边贡献为 \(\lceil \log_2 \text{dis}(u,v) \rceil \times \min(a_u,a_v) + a_u + a_v\)。

　　以最小值节点为根，显然每个点只会向其祖先连边。

　　而代价的 \(\log\) 函数决定了只要向 \(2^k\) 祖先连边就是最优的，正确性可以通过调整法证明。

　　然后边数就是 \(\mathcal O(n \log n)\) 的了，如果要排序 Kruskal，那么就是 \(\mathcal O(n \log ^2 n)\)。但是我们可以在每个点处理出最佳的边，然后排序的 \(\log\) 就没有了。复杂度 \(\mathcal O(n \log n)\)。

启示

1. 奇怪的贡献函数启示了要对应其进行分析；如果贡献函数过于复杂（比如这个题目的点和边的贡献），那么可以考虑简化成一个函数；如果贡献函数看起来比较奇特，那么可以想一想这个函数的性质是什么（决策单调性？是否有一些最优的决策点？）
2. \(\mathcal O(n^2)\) 条边的最小生成树的一种优化方式就是考虑简化连边数量；另一种可以使用 Boruvka 算法（“别乳卡”算法！）。