HAOI2018 简要题解

\(~\)

　　以前做过的 [HAOI2018]染色、[HAOI2018]苹果树 暂时不更

　　[HAOI2018]字串覆盖 已经弃疗了。

　　总体难度 medium 偏 easy，但是 Luogu4495 [HAOI2018]奇怪的背包 想不到是真的脑抽。

　　代码可以在 https://gitee.com/yinjinrun/code-public-2/tree/master/Luogu 找到。

Luogu4494 [HAOI2018]反色游戏

小 \(C\) 和小 \(G\) 经常在一起研究搏弈论问题，有一天他们想到了这样一个游戏。有一个 \(n\) 个点 \(m\) 条边的无向图，初始时每个节点有一个颜色，要么是黑色，要么是白色。
现在他们对于每条边做出一次抉择：要么将这条边连接的两个节点都反色，要么不作处理．他们想把所有节点都变为白色，他们想知道在 \(2^m\) 种决策中，有多少种方案能达成这个目标。
小 \(G\) 认为这个问题太水了，于是他还想知道，对于第 \(i\) 个点，在删去这个点及与它相连的边后，新的答案是多少，对 \(10^9+7\) 取模。

\(n \le 10^5\)

70 pts ：\(n \le 2000\)

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　　图论 生成树

　　感觉挺简单的，不理解为什么在洛谷评了黑。

　　看到 xor，首先想到的是高斯消元求解方程组然后 bitset 优化，然后答案就是 \(2^{自由元个数}\)，复杂度 \(\mathcal O(\frac{n^6}{\omega})\)（可能算错了，但是能有 \(50\) 分）。

　　但是这个解法真的没什么用处……

　　但是通过这个解法以及观察样例，我们可以得知答案就是 \(2^t\) 的形式，进一步地，我们可以想到这个题和线性基有点类似，我们可以先插入一堆边，然后如果有一条边可以被别的边表示出来，那么就可以将答案 \(\times 2\)。

　　上面只是一个比较抽象的想法，但是可以让我们联想到环、生成树，于是我们可以将解法具体化：

• 遍历整个图，扣出生成树，记非树边的个数为 \(tot\)，并且存在合法解，那么答案就是 \(2^{tot}\)
• 考虑证明：
  • 从叶子开始考虑，如果该点为黑，那么操作对应其父亲的边，不断进行，直到到根位置。
  • 此时如果根还是黑的，那么真的无解了，因为：
  • 我们考虑操作一条链，那么只有链头链尾的颜色改变了，于是加入非树边对于答案没有任何影响。
• 于是在生成树上求解，然后根据根的点的颜色可以判断是否有解。

　　然后就是 \(\mathcal O(n^2)\) 解法了。

　　考虑 \(\mathcal O(n)\) 做法：

• ban 掉 \(x\) 点后，我们可以遍历其儿子，然后可以找到返祖边是否到了以 \(1\) 为根的子树；
• 进而可以确定剩余的非树边数量和原来 \(x\) 所在生成树的根的颜色。

　　然后就可以求解了。

　　另外要注意初始的图不连通。

Luogu4495 [HAOI2018]奇怪的背包

小 C 非常擅长背包问题，他有一个奇怪的背包，这个背包有一个参数 \(P\) ，当他向这个背包内放入若干个物品后，背包的重量是物品总体积对 \(P\) 取模后的结果。
现在小 C 有 \(n\) 种体积不同的物品，第 \(i\) 种占用体积为 \(V_i\) ，每种物品都有无限个。他会进行 \(q\) 次询问，每次询问给出重量 \(w_i\) ，你需要回答有多少种放入物品的方案，能将一个初始为空的背包的重量变为 \(w_i\)。注意，两种方案被认为是不同的，当且仅当放入物品的种类不同，而与每种物品放入的个数无关．不难发现总的方案数为 \(2^n\)。
由于答案可能很大，你只需要输出答案对 \(10^9 + 7\) 取模的结果。

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　　动态规划 数论

　　没有想到结论，有不敢猜结论直接自闭了，其实以前是见过的，但是不知道为什么想不起来。

　　结论： \(w\) 能被 \(v_1, v_2, \dots, v_k\) 表示出来当且仅当 \(\gcd(P,v_1, v_2, \dots, v_k) | w\)。

　　然后我们可以设 \(f(x)\) 表示 \(\gcd\) 为 \(x\) 的集合的个数，复杂度 \(\mathcal O(n d(P))\)，其中 \(d(P) \le 1344\)。

　　然后可以将 \(\gcd(v, P)\) 的相同的元素合并，于是复杂度就是 \(O \mathcal (d(P)^2\log P)\) 了（还有 \(\gcd\) 复杂度）。