感性理解矩阵树定理

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　　做 P4455 [CQOI2018]社交网络 的时候，因为没看出外向树直接发呆了，然后发现不太会证明矩阵树定理，其实 zhouxj 讲过，但是因为太复杂了，以及考场现推的几率很小，于是默认跳过这个证明了，但是刚好发现了 比较简洁的证明，于是加了点自己的理解就有这篇感性理解文章。

　　如果想学习理性证明，推荐看 基尔霍夫定理_VFleaKing 的博客-CSDN 博客，博主只会感性理解。

　　如果有些地方写错了，欢迎与我联系。

\(\tt UPD\;2020/1/29\)：上面的比较简洁的证明有所修改，然后自己发现当时有的地方不太清楚，于是打了个补丁。

无向图的矩阵树定理

结论 1

考虑排列 \(P = (p_1, p_2, \dots p_n)\)，那么考虑将 \((1, 2, \dots, n)\) 每次交换两个数，最后生成 \(P\)，显然所有交换方案的次数在 \(\bmod ~2\) 意义下都是一样的，同时和逆序对奇偶性相同。

结论 2

如果 \(P\) 写成置换环形式，整个图成了一个大环，那么所有交换方案的次数奇偶性和环长 - 1 相同。

　　考虑最小交换次数即可。

结论 3

对于一个排列 \(P = (p_1, p_2, \dots, p_n)\)，新建一个有向图，其中 \(i\) 向 \(p_i\) 连边，那么整个图的环的个数的奇偶性和 $n - $ 逆序对个数的奇偶性相同。

　　求和即可。

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　　接下来，我们考虑无向图的生成树可以怎么算。

　　注意每个节点的父亲是唯一的，于是我们可以先钦定一个根，然后每个节点选一条边确定一个父亲，但是会有形成环的出现，于是我们可以考虑容斥，钦定若干节点会形成环，其他节点可以乱选，将最后的方案乘上 \((-1)^{环个数}\) 即可。

\(\tt UPD\;2022/1/29\)：注意，容斥中，乱选的节点对于 \((-1)^{环个数}\) 的贡献一点也没有！

　　看到 \((-1)^{环个数}\)，我们可以想到行列式，首先我们写下整个图的邻接矩阵（注意此时在矩阵中 \(mat_{i, i} = 0\)），钦定一个根，删去有关的行和列，然后就可以求一下行列式，就给每个点确定父亲了，因为行列式自带 \((-1)^{逆序对}\) 的系数，那么我们可以将整个邻接矩阵的所有系数取反，于是就是 \((-1)^{n - 逆序对}\) 的系数了，也就是 \((-1)^{环个数}\) 了。

　　于是我们已经实现了钦定所有的点都必须被环包含的情况。

　　现在，我们还要钦定若干节点乱选，于是我们可以将矩阵的对角线赋值上其度数，然后就是乱选了。

\(\tt UPD\;2022/1/29\)：这句话上面这句话可能不太详细。
我们将对角线附上度数，然后对应乱选，而乱选的节点的权值是正的，于是最后的系数是 \((-1)^{n - 乱选节点 - 逆序对}\)，同时，我们发现，这些乱选节点对于 \((-1)^{逆序对}\) 的贡献永远是 \(1\)（大概可以考虑有只有一个点乱选的情况，然后发现无论怎么选，和该乱选的点有关的逆序对个数都是偶数），于是我们可以将所有乱选的节点全部剔除，然后就转化到了钦定所有点必须被环包含的情况了，但最后的答案同时乘上了乱选的系数。

　　于是就是矩阵树定理的形式了。同时可以发现矩阵树定理的本质就是对环进行容斥。

有向图拓展

　　上面进一步可以拓展到有向图上面，同时也可以方便感性理解背诵外向树生成树矩阵树定理是入度矩阵。

　　以外向树为例：

• 类似无向树的情况，先删掉钦定根的有关行列，代表该点不选父亲
• 对于其他点，每个点的父亲必须是它的入边，于是就是保留入度矩阵了。

　　进而我们可以感性理解了外向树矩阵树定理用的是入度矩阵了。

进一步拓展

如果我们要求的是无向图的生成森林呢？

　　有两种办法：

• 新建一个点 \(n+1\)，然后每个点向 \(n+1\) 连边，最后钦定 \(n+1\) 为根，删去有关行列就行了。最后的写法就是将整个矩阵全部保留，唯一地更改就是每个点的入度突然 \(+1\)。
• 不新建点，采用感性理解这个方法，就是每个点的入度 \(+1\)，代表乱选的方案 \(+1\)，然后还是钦定 \(n\) 为根，删去有关行列。最后写法就是正常的矩阵树定理（删了一个点），但是每个点的入度突然 \(+1\)。

　　于是我们惊喜地发现，两个写法唯一的不同就是删了一个点有关行列还是没删（，但是好像都是对的（

　　才不会告诉你是写最小生成树计数的时候惊喜地发现的一个地方

　　可能是数据水了导致都 AC 了，如果有问题欢迎练习博主。