CF1626F A Random Code Problem

给出一个序列 $\{a_i\}$ ，执行以下内容：

long long ans = 0; // create a 64-bit signed variable which is initially equal to 0
for(int i = 1; i <= k; i++)
{
  int idx = rnd.next(0, n - 1); // generate a random integer between 0 and n - 1, both inclusive
                                // each integer from 0 to n - 1 has the same probability of being chosen
  ans += a[idx];
  a[idx] -= (a[idx] % i);
}

求 $ans$ 的期望值， $n \le 10^7, k \le 17, a_i \le 10^9$ 。

　　期望

　　我们发现 $k \le 17$ ，因此，设 $M = \mathrm{lcm}(1, 2, \dots, 17) = 12252240$ ，可以发现，每个数 $x$ 有 $x \bmod~M$ 的部分是会改变的，其他部分是不会变的，于是每个数可以将不变的部分计入答案，然后 $\bmod~M$ ，于是问题的值域缩小到了 $M$ ，可以直接维护 $f_{i, j}$ 表示通过 $i - 1$ 次操作后，值为 $j$ 的期望个数。

　　于是答案为

\sum \frac{f_{i, j} \times j}{n}

$\sum \frac{f_{i, j} \times j}{n}$

　　考虑转移，每个数有 $\frac{1}{n}$ 的概率被操作，否则不变，于是根据期望的线性性：

{\begin{aligned} f_{i, j} \times \frac{1}{n} & \to f_{i + 1, j} \\ f_{i, j} \times \frac{n - 1}{n} & \to f_{i + 1, j - (j mod i)} \end{aligned}

$\left\{ \begin{aligned} f_{i, j} \times \frac{1}{n} &\to f_{i + 1, j}\\ f_{i, j} \times \frac{n - 1}{n} &\to f_{i + 1, j - (j~\bmod~i)} \end{aligned} \right.$

　　然后 $f$ 可以滚动数组优化，复杂度 $\mathcal O(Mk)$ 。但是要注意常数问题，~~特别是我 C++14 直接 T 了，C++17 就可以了~~。