HNOI 2018 Day2 题解
Luogu4436 [HNOI/AHOI2018]游戏
一次小 G 和小 H 在玩寻宝游戏，有 \(n\) 个房间排成一列，编号为 \(1,2,\cdots,n\) ，相邻的房间之间都有一道门。其中一部分门上锁（因此需要有对应的钥匙才能开门），其余的门都能直接打开。现在小 G 告诉了小 H 每把锁的钥匙在哪个房间里（每把锁有且只有一把钥匙与之对应），并作出 \(p\) 次指示：第 \(i\) 次让小 H 从第 \(S_i\) 个房间出发到 \(T_i\) 个房间里。但是小 G 有时会故意在指令中放入死路，而小 H 也不想浪费多余的体力去尝试，于是想事先调查清楚每次的指令是否会存在一条通路。
你是否能为小 H 作出解答呢？
\(1\le n,p\le 10^6\)，\(0\le m <n\)，\(1\le x,y,S_i,T_i<n\) 保证 \(x\) 不重复。
暴力
比较正确的方法：https://www.cnblogs.com/C202044zxy/p/15815703.html
但是，这题可以暴力地艹过去。
记每个点最远走到的点 \((L_i, R_i)\)，然后每次暴力拓展，然后加个记忆化，据 Loj2397.「JOISC 2017 Day 3」幽深府邸 的官方题解说复杂度正确，为 \(\mathcal O(n\log n)\)。不会证明。
没想到是个双倍经验题
Luogu4437 [HNOI/AHOI2018]排列
给定 \(n\) 个整数 \(a_1, a_2, \dots, a_n, 0 \le a_i \le n\)，以及 \(n\) 个整数 \(w_1, w_2, \dots, w_n\)。
称 \(a_1, a_2, \dots, a_n\) 的 一个排列 \(a_{p[1]}, a_{p[2]}, \dots, a_{p[n]}\) 为 \(a_1, a_2, \dots, a_n\) 的一个合法排列，当且仅当该排列满足：对于任意 的 \(k\) 和任意的 \(j\)，如果 \(j \le k\)，那么 \(a_{p[j]}\) 不等于 \(p[k]\)。（换句话说就是：对于任意的 \(k\) 和任意的 \(j\)，如果 \(p[k]\) 等于 \(ap[j]\)，那么 \(k<j\)。）定义这个合法排列的权值为 \(w_{p[1]} + 2w_{p[2]} + \dots + nw_{p[n]}\)。
你需要求出在所有合法排列中的最大权值。如果不存在合法排列，输出 \(-1\)。
\(n \le 5\times 10^5\)
贪心
完了，基本贪心模型想了半天想不起来了，感觉最近要练习贪心技巧了。
题面过于鬼畜，看了半天。
为了方便思考，我们可以先 \(i \to p_i\) 连边，\(1 \sim n\) 依次考虑选择 \(p_i\)，那么当且仅当 \(a_{p_i}\) 已经有入边（或者为 \(0\)），这条边才是合法的。
这个限制就是：
对于任意 \(k\)，\(a_{k}\) 一定比 \(k\) 先选（假设我们第一个选的数是 \(0\)）。
于是我们可以将序列的关系转化成图的形式，对于每个 \(i\)，有边 \(a_i \to i\)，然后每选一个点，它的所有出边就都可以选择了，然后，如果整个图存在一个环，那么就不能选完，于是无解，最后这个图是一棵树的结构，选择一个点，必须先选其父亲。
我没有任何问题地推到了这里，于是直接敲了一个很假的贪心上去，得了 \(20\) 分，然后发现这个转化后的问题是一个比较经典的问题，再推了半年，还是不太会，然后只会优化一下判 \(-1\) 的条件，得了 \(30\) 分。
要是我梦回 \(\tt HNOI2018\)，我应该直接寄了。
不扯了，但是之后确实是一个经典问题。
我们可以对于整个点维护一个序列，表示选了这个点之后的选择排列情况，然后每次选择的时候，该点合并到父亲所在的序列中，使得产生的贡献最大。我们用 \((siz, tot)\) 表示一个序列的长度和权值和，考虑两个序列，\((siz_1, tot_1)\)，\((siz_2, tot_2)\)，那么 \(1\) 先于 \(2\) 选择的条件是：
然后可以用并查集维护每个点当前所在的序列位置，使用堆进行贪心选择了。
Luogu4438 [HNOI/AHOI2018]道路
贡献提前计算板子题，不写了。
