HNOI 2018 Day1 题解
Luogu4424 [HNOI/AHOI2018]寻宝游戏
给出一个含有 \(n\) 个数的二进制数组 \(a_1,a_2,...,a_n\)，和 \(q\) 个长度也为 \(m\) 的二进制数 \(r_1,r_2,...,r_q\)。
在保持数组 \(a_1,a_2,...,a_n\) 的元素顺序不变下，你可以在它们之间插入 \(\land\)（按位与运算）或者 \(\lor\)（按位或运算）。
你需要插入 \(n\) 个运算符，相邻两个数之前恰好一个，在第一个数的左边还有一个。如果我们在第一个运算符的左边补入一个 0，这就形成了一个运算式，我们可以计算它的值。与往常一样，运算顺序是从左到右。现在，对 \(r_1,r_2,...,r_q\) 中的每一个值 \(r_i\)，分别计算出有多少种方法填入这 \(n\) 个计算符，使的这个运算式的值是 \(r_i\) ，模 \(1000000007\) 。
\(n \le 1000, m \le 5000, q \le 1000\)
排序 位运算 结论
考试的时候，想到了从后往前，对于 \(\wedge\)，如果是该位是 \(0\)，那么就会全变成 \(0\)，\(\vee\) 类似，然后就打了一个记搜，开了 O2 跑得飞快 （对于前 70 分可以 0.5s 完美通过），然后考到一半发现没有 O2，然后就 * 10 倍常数，就是 5 秒了，卡了卡常，成了 2s，但是时限 1s，直接裂开。
其实正解就是继续往下想，但是我想不到。
这个限制很像字典序，于是我们可以倒着考虑，对于某一位，我们把 \(n\) 个数的这一位拆下来，拼成一个长为 \(n\) 的 \(01\) 串 \(a\)（后面的作为高位），然后我们操作串为 \(b\)（同样，后面的作为高位，如果为 \(\vee\)，那么就是 \(0\)，否则为 \(1\)），然后我们进行字典序比较，在对于第一个位置 \(i, a_i \neq b_i\)，如果 \(a_i\) 为 \(0\)，那么这一位就是 \(0\) 了，否则就是 \(1\) 了，于是我们最后的操作串的字典序 < \(a\) 那么就是 \(1\)，否则为 \(0\)。
于是我们对于每条询问，就会有 \(m\) 个关于操作串的限制，我们只要确定左右端点，然后就是这里面的串都能选了。
Luogu4425 [HNOI/AHOI2018]转盘
一个转盘上有摆成一圈的 \(n\) 个物品（编号 \(1\sim n\)），其中的 \(i\) 个物品会在 \(T_i\) 时刻出现。
在 \(0\) 时刻时，小 G 可以任选 \(n\) 个物品中的一个，我们将其编号为 \(s_0\)。并且如果 \(i\) 时刻选择了物品 \(s_i\)，那么 \(i+1\) 时刻可以继续选择当前物品或选择下一个物品。当 \(s_i\) 为 \(n\) 时，下一个物品为物品 \(1\)，否则为物品 \(s_{i}+1\)。在每一时刻（包括 0 时刻），如果小 G 选择的物品已经出现了，那么小 G 将会标记它。小 H 想知道，在物品选择的最优策略下，小 G 什么时候能标记所有物品？
但麻烦的是，物品的出现时间会不时修改。我们将其描述为 \(m\) 次修改，每次修改将改变其中一个物品的出现时间。每次修改后，你也需求出当前局面的答案。对于其中部分测试点，强制在线。
\(n \le 10^5\)
数据结构 线段树 单调栈
题解
看到循环走，几乎弃疗了，然后啥也不太会推了，完美复现 NOI2021D2T2 被假 gcd 难住。
首先有一个结论：
一定不要循环走，待在原地等物品出现是最优的。
于是我们考虑时间倒流，假设终止时间是 \(0\)，那么答案就是所有拿到物品的时间最大值，断环成链，假设以 \(i\) 为起点，时间就是 \(\max\{T_j + n - (j - i) - 1\}\)，于是要求 \(\displaystyle \min_i\{\max_{i \le j}\{T_j + n - (j - i) - 1\}\}\)，设 \(a_i = T_i - i\)，那么就是维护 \(\displaystyle \min_i\{\max_{i \le j}\{a_j + i\}\} + n - 1\)，然后我们考虑在 \(i\) 处计算贡献，同时我们发现，\(j\) 一定是一个后缀最大值，考虑线段树维护，那么每次 pushup 的时候，我们要知道当前位置的后缀 \(\max\)，这个可以转移和楼房重建很像，于是可以类似地维护当最大值就在当前节点中，而不依赖外部传入的最大值时后的答案，每次 pushup 的复杂度就是 \(\mathcal O(\log n)\)，总复杂度为 \(\mathcal O(n\log^2 n)\)。
启示
- 千万不要弃疗，一定要注意有什么东西是在糊弄人的！
- 这种 \(\min\max\) 的式子可以想一想前缀 or 后缀 \(\max\)，然后可以考虑楼房重建这种经典题（为什么考了几次这个技巧还是不会啊啊）
Luogu4426 [HNOI/AHOI2018]毒瘤
给出一张联通图（\(m \le n + 10\)），求独立集方案数。
\(n \le 10^5\)
动态规划 虚树
题解
突然有 NOI2021D1T3 的感觉。
整场考试最有体验感的题目，靠着暴力获得了 80 分的好成绩，虽然离正解只差一步了。
我们将非树边标号，显然，我们可以设 \(f_{x, 0 / 1, s}\) 表示以 \(x\) 为根的子树，\(x\) 是否选择，目前 \(s\) 集合中的边已经有节点被占用了，这样转移的时候可以枚举子集，复杂度 \(\mathcal O(n 3^{m - n + 1})\)，空间复杂度 \(\mathcal O(n 2^{m - n+1})\)，时空都爆炸。
然后我们将非树边涉及的点称为关键点，于是注意到，如果一个子树里面都没有关键点，那么是对于整个集合都没有影响的，于是没有必要 DP \(2^{m - n+1}\) 的值，于是我们可以保留关键点，建立虚树，每次转移的时候可以处理一下虚树上的边的系数，那么复杂度就降为 \(\mathcal O(2(m - n + 1) 3^{m - n + 1})\) 了。
好像别的题解直接枚举每条边的情况再 DP？但是我是直接保留的，其实没有太大区别，具体实现的时候，可以动态申请空间，又因为虚树只要求一遍，于是我们可以 \(\mathcal O(n)\) 地建立虚树以减少代码量。
启示
- 当有用的点较少的时候一定要想起虚树！
