CF1580B Mathematics Curriculum 题解
求满足以下条件的排列个数：
- 长度为 \(n\)。
- 恰有 \(k\) 个数满足：所有包含这个数的区间中，不同的最大值的个数恰有 \(m\) 个。
答案对 \(p\) 取模。
\(1 \le n \le 100, 1 \le m \le n, 1 \le k \le n, 1 \le p \le 10^9\)
动态规划 卡常
虽然是个屑题，但是它很好。
除了最后一步卡常，其他都想出来了。
对于排列的 DP，比较经典的是维护已有的排列，然后在中间插入下一个数，但是在这里几乎无法计数。
注意到题目的限制实际上是前缀的最大值个数 + 后缀最大值个数，于是可以想到单调栈，顺便想到笛卡尔树，于是问题转化为对于整个排列建立笛卡尔树后深度为 \(m\) 的节点共有 \(k\) 个的方案数，这个可以考虑 DP ：
记 \(f(l, r, t, v)\) 表示对于左端点为 \(l\)，右端点为 \(r\) 的序列建立笛卡尔树，根节点深度为 \(t\)，共有 \(v\) 个节点满足条件，转移的时候枚举最大值的位置，类似区间 DP + 背包处理即可，这样是 \(\mathcal O(n^6)\) 的，显然过不了，但是可以发现我们实际上不会关心区间的左右端点，只会关心区间长度，于是状态变为 \(f(len, t, v)\) 表示长度为 \(len\) 的区间，根节点深度为 \(t\)，有 \(v\) 个节点满足条件的方案数，这样还是枚举最大值转移，复杂度 \(\mathcal O(n ^ 5)\)。
但还是过不了，甚至发现没有优化余地了，于是孩子弃疗了，点开了题解，发现题解也是 \(\mathcal O(n ^ 5)\) /yun。
这个时候，我们发现， \(v \le \dfrac{len + 1}{2}\)，记搜的时候加上剪枝即可，常数 \(\times \frac{1}{4}\)，然后就可以过了。
于是 \(\mathcal O(n ^ 5)\) 艹过 \(100\)。
