CF1437E Make It Increasing 题解

题目大意

给你一个数列 \(a\) ,一个集合 \(b\) , 对于每个\(b\) 中的元素\(x\)， \(a_x\) 不能修改，其他都可以修改，问最少多少次可以将\(a\) 修改为严格单调递增的。如果不存在，输出 \(-1\) 。

思路

我们先考虑不存在的情况，一定是存在\(x,y\in b,x < y\) ,\(a_y-a_x < y-x\) , 这样无法在 \(a_x,a_y\) 中任意修改满足严格单调递增。

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那么接下来考虑最小的修改次数。

加入我们没有修改限制呢？

那么就是一个经典的\(DP\) 问题了。

我们将原数组变形，让\(a_x = a_x -x\)，然后跑一遍最长不下降子序列就行了（用 \(nlogn\) 的算法），答案就是　\(n-\)最长不下降子序列长度了。

但是有限制，我们先考虑一下没有限制的代码。

for(int i = 1;i <= n;i++) a[i] -= i;
for(int i = 1;i <= n;i++){
	if(e == 0 || a[i] >= l[e]) {
	    l[++e] = a[i];
	}
	else{
	    int p = upper_bound(l+1,l+e+1,a[i])-l;
	    l[p] = a[i];
	}
}//e : l 数组的末尾标号。

这样的代码会在遍历 \(a\) 数组时不断更新自己的一个假想的答案序列，使它每个值尽可能的小，然后容下一个新的值，使答案最大。

在判过是否满足后，\(\forall x\in b\) ，\(a_x\) 一定也可以在处理后形成一个不下降子序列，我们要保证不修改它们，就要让它们处于这个假想的答案序列中，于是我们可以加上几行：

//lasb ,上一个不能修改的位置在我们当前维护的假想答案序列中的位置。
//ban[i] , a[i] 是否禁止修改。
for(int i = 1;i <= n;i++){
	if(e == 0 || a[i] >= l[e]) {
	    l[++e] = a[i];
	    if(ban[i]) lasb = e;
	}
	else{
	    int p = upper_bound(l+1,l+e+1,a[i])-l;
	    if(p <= lasb) continue;//如果我们要更改的位置小于上一个不能修改的位置，那么就不能更改假想的答案序列
	    l[p] = a[i];
	    if(ban[i]) lasb = p,e = p;//答案序列p后面的位置都不满足条件，因为它们不能大于这个不能修改的位置，因此对我们要的最长不下降子序列不能产生贡献。
	}
}

魔改一下这个算法后，就可以\(AC\) 了。（具体理解见代码，可以结合一下\(nlogn\)的最长不下降子序列的算法）

Code

#define re(x) read(x)

const int MAXN = 1e6+10;

int n,k;
int a[MAXN],l[MAXN],e,b[MAXN],lasb=0;
bool ban[MAXN];

int main (){
    re(n);re(k);
    for(int i = 1;i <= n;i++) re(a[i]);
    for(int i = 1;i <= k;i++) re(b[i]),ban[b[i]]=1;
    sort(b+1,b+k+1);
    for(int i = 2;i <= k;i++)
		if(a[b[i-1]] - b[i-1] > a[b[i]] - b[i]){
	    	return puts("-1"),0;
		}
    for(int i = 1;i <= n;i++) a[i] -= i;
    for(int i = 1;i <= n;i++){
		if(e == 0 || a[i] >= l[e]) {
	    	l[++e] = a[i];
	    	if(ban[i]) lasb = e;
		}
		else{
	    	int p = upper_bound(l+1,l+e+1,a[i])-l;
	    	if(p <= lasb) continue;
	    	l[p] = a[i];
	    	if(ban[i]) lasb = p,e = p;
		}
    }
    printf("%d",n-e);
    return 0;
}