CF1436E Complicated Computations 题解

Problem

给定一个长度为 $n(n \leq 10^5)$ 的数组，求出它所有子数组 $MEX$ 的 $MEX$ 。

这里的$MEX$ 定义为一个数组中第一个没有出现的 正整数。

Solution

考场没有想出来，自闭了。

我们考虑是否存在一个子数组，满足其$MEX=a$ ，首先，这个子数组里面必须要没有 $a$ ，

于是我们首先把数组中所有的 $a$ 找出来，这些 $a$ 把数组分成了若干段，我们要的子数组必须不能跨越这些段。

其次，对于这些段中，如果所有小于$a-1$的数都在里面，那么这一段一定满足$MEX=a$ （因为里面没有$a$）。

可以结合一下图理解。

我们可以用线段树维护，具体细节见代码。

Code

const int MAXN = 1e5+10;

int val[MAXN<<2],lst[MAXN],a[MAXN],n;
bool able[MAXN];

//这个线段树维护的是每个数最后出现的位置

void update(int o,int l,int r,int pos,int v){
	if(l == r) return (void)(val[o] = v);
	int mid = l+r>>1;
	if(pos <= mid) update(o<<1,l,mid,pos,v);
	else update(o<<1|1,mid+1,r,pos,v);
	val[o] = min(val[o<<1],val[o<<1|1]);
}//更新区间最小值

int query(int o,int l,int r,int xl,int xr){
	if(l == xl && r == xr) return val[o];
	int mid = l+r>>1;
	if(xr <= mid) return query(o<<1,l,mid,xl,xr);
	else if(xl > mid) return query(o<<1|1,mid+1,r,xl,xr);
	else return min(query(o<<1,l,mid,xl,mid),query(o<<1|1,mid+1,r,mid+1,xr));
}//查询区间最小值

int main (){//lst[i] i 上一次出现的位置
	scanf("%d",&n);
	for(int i = 1;i <= n;i++) scanf("%d",&a[i]);
	for(int i = 1;i <= n;i++){
		if(a[i] != 1) able[1] = 1;//注意对1的特判
		if(a[i] > 1  && query(1,1,n,1,a[i]-1) > lst[a[i]]) able[a[i]] = 1;
      //对段进行分割处理（lst[a[i]] ~ i) ，如果 1~a[i]-1 的数最后出现的位置都 > lst[a[i]] 且 < i(因为后面的还没更新，所以必定 < i) ,那么这一段满足MEX = a[i]
		lst[a[i]] = i;
		update(1,1,n,a[i],i);
	}
	for(int i = 2;i <= n+1;i++) if(query(1,1,n,1,i-1) > lst[i]) able[i] = 1;
  //因为lst[i] 初始为0，所以之前我们处理了 1～i 最先出现的位置的段，但是没有处理 lst[i] ~ 结尾 的段，这里在处理一遍
	int ans = 1;
	for(;able[ans] && ans <= n+1;ans++);
  //查找答案，注意ans 上界实际上为 n+2
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}