CodeForces 1422 B Nice Matrix 题解

题意

给你一个 \(n*m\) 的矩阵，你可以每次将其中一个数 \(+1\) 或 \(-1\) ，求多少次可以使矩阵每一行每一列为回文的．

若一个数列 \((a_1,a_2,a_3,\dots,a_n)\) 为回文， \(\forall a_i ,a_i = a_{n-i+1}\)

\(\texttt{Data Range:}\)

\(1 \leq n,m \leq 100,a_i \leq 10^9\)

思路

我们注意到，要使每行每列都是回文的，就要使

\(a_{i,j} = a_{i,m-j+1} = a_{n-i+1,j} = a_{n-i+1,m-j+1}\)

如图：

即图中的 \(4\) 个绿色方块

那我们只要每次处理这 \(4\) 个绿色方块，使其相同的操作次数最小。

设这 \(4\) 个方块的数从小到大为 \(x_1,x_2,x_3,x_4\) ，最后我们要是这些数都变为 \(mid\) 。

代价为 \(s = |x_1-mid| + |x_2 - mid| + |x_3 - mid| + |x_4 - mid|\)

结论

当 \(x_2 \leq mid \leq x_3\) ， \(s\) 有最小值。

证明

如图：

绿色的线段和 代表 \(s\) 。

不管 \(x_1,x_2,x_3,x_4\) 的大小，我们都可以发现：

\(x_2 <= mid <= x_3\) 的情况最优。

因此，我们只要枚举 \(mid = x_2\) 或\(mid = x_3\) 就可以算答案了。

代码

#define re(x) read(x)
#define ll long long

using namespace std;

const int MAXN = 110;
const ll INF = 1e15;
int n,m,a[MAXN][MAXN];

int main (){
    int T; re(T);
    while(T--){
        re(n);re(m);
        for(int i = 1;i <= n;i++)
            for(int j = 1;j <= m;j++)
                re(a[i][j]);
        ll ans = 0;
        for(int i = 1;i <= n/2;i++){
            for(int j = 1;j <= m/2;j++){ //每一行正中间的一个数无需考虑
                ll tt = INF,sum;
                
                sum = a[i][j];
                tt = min(tt,abs(a[i][j]-sum) + abs(a[n-i+1][j]-sum)+abs(a[i][m-j+1]-sum) + abs(a[n-i+1][m-j+1]-sum));
                
                sum = a[n-i+1][j];
                tt = min(tt,abs(a[i][j]-sum) + abs(a[n-i+1][j]-sum)+abs(a[i][m-j+1]-sum) + abs(a[n-i+1][m-j+1]-sum));
                
                sum = a[i][m-j+1];
                tt = min(tt,abs(a[i][j]-sum) + abs(a[n-i+1][j]-sum)+abs(a[i][m-j+1]-sum) + abs(a[n-i+1][m-j+1]-sum));
                
                sum = a[n-i+1][m-j+1];
                tt = min(tt,abs(a[i][j]-sum) + abs(a[n-i+1][j]-sum)+abs(a[i][m-j+1]-sum) + abs(a[n-i+1][m-j+1]-sum));
                
                ans += tt;
//注意,当时我写的时候没有排序,而是每个数进行枚举,因为数据量很小,所以可以过
            }
            if(m&1) ans += abs(a[i][m/2+1]-a[n-i+1][m/2+1]);
//如果有居中的行,只要满足这一行为回文的.
        }
        if(n&1){
            for(int i = 1;i <= m/2;i++){
                ans += abs(a[n/2+1][i] - a[n/2+1][m-i+1]);
            }
        }
        write(ans);
    }
    return 0;
}