P1006 [NOIP2008 提高组] 传纸条(线性 dp)
真的,第一次听懂了 闫氏dp分析法,从集合的角度分析
首先,两条路径,很朴素的状态表示就是定义
但是,这样状态数量就达到了 6.25e7,有点极限
tip:动态规划的时间复杂度一般可以表示为 状态数量与状态计算量的乘积
注意到题意等价于两条路径从 (1, 1) 同时出发,不重复点,到达 (n, m)
发现任意时刻,
观察性质 消元(应该算吧),状态量就从
综上谓之 状态表示
-
集合:所有两条路径从 (1, 1) 分别走到 (x1, k - x1)、(x2, k - x2) 的路线组合的集合
-
属性(数组中存的数与所表示集合的关系):最大值
接下来就是 状态计算
题目说当前状态 (x, y) 只能从 (x, y - 1) 或 (x - 1, y) 转移
两条路径,就有四种情况,分而治之,把集合分成四块分别讨论,
tip:状态划分的依据一般是找到最后一个不同点
对于当前点的贡献需要特别分析,依据题意,两条路径不能重合,也就是说一个点最多只能算一次贡献。所以,若两条路径在当前点重合,我就只算一次贡献,反之两次贡献
虽然这样分析,把重合这种非法情况包括进来了,但是显然重合累加一次贡献一定小于不重合累加两次,所以一定会被更优解更新掉,也就没什么影响啦。
时间复杂度为
#include <bits/stdc++.h> #define re register int using namespace std; const int N = 55; int n, m, w[N][N], f[N << 1][N][N]; int main() { ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0); cin >> n >> m; for (re i = 1; i <= n; i ++) for (re j = 1; j <= m; j ++) cin >> w[i][j]; for (re k = 2; k <= n + m; k ++) for (re x1 = max(1, k - m); x1 <= min(k - 1, n); x1 ++) for (re x2 = max(1, k - m); x2 <= min(k - 1, n); x2 ++) { int t = (x1 != x2 ? w[x1][k - x1] + w[x2][k - x2] : w[x1][k - x1]); for (re a = 0; a <= 1; a ++) for (re b = 0; b <= 1; b ++) f[k][x1][x2] = max(f[k][x1][x2], f[k - 1][x1 - a][x2 - b] + t); } cout << f[n + m][n][n] << '\n'; return 0; }
分类:
E 动态规划 - 线性 dp
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