CF1304E 1-Trees and Queries（lca + 树上前缀和 + 奇偶性）

题目

二话不说，直接按题意模拟暴搜，当然 $O(nq)$ 的复杂度显然是寄了的。

不过，在模拟的过程中，我在链式前向星的删边中居然一开始错了，还是要 mark 一下以后注意。

void del(int x, int pre)
{
	e[top].to = e[top].next = 0;
	h[x] = pre; // h[x] = 0; < --- tip
}
int main()
{
	int pre_x = h[x], pre_y = h[y];
	del(x, pre_x);
	del(y, pre_y);
}

---

这题主要是要想到在树上，从 $x\to y$ 的简单路径与其余更长的路径的奇偶性是相同的 。

想到之后证明是显然的，所谓的更长路径其实就是在简单路径上多走了一些重复的边，一条边重复走一次来回就对答案有两次贡献，也就是 $a=b+2p(p\in Z)$ ，显然， $b$ 和 $a$ 的奇偶性相同。

这样就有思路了，先分类讨论。

• 不走 $x⟷y$

也就是在原树上跑，显然与 $k$ 的关系与树上两点距离有关，可以先用 lca + 树上前缀和求出简单路径的长度。

$$dis=de{p}_a+de{p}_b-2\times de{p}_{lca(a,b)}$$

显然，如果 $dis>k$ ，就一定不可能有路径满足 $k$ 步可以到达，其他任意的路不管怎样都只会更大。

如果 $dis=k$，刚好就是简单路径。

所以想到 若存在可行路径一定要保证 $dis⩽k$ .

考虑 $dis<k$ .

而若 $dis$ 成立，则一定存在 $dis+2p$ ，那如果 $k\in \{t|t=dis+2p\}$，则一定存在满足长度为 $k$ 的路径。

也就是说，若存在可行路径，则 $dis$ 和 $k$ 的奇偶性一定相同 。

这样，$dis>k$ ，$dis=k$ ，$dis<k$ 就都讨论完了。

• 走 $x⟷y$

思路是一样的，同样求出 $a\to b$ 且经过 $x\to y$ 的简单路径。

而只加了一条边，贡献直接可以得到为 1，也就是求两边的 lca 即可：$dis=di{s}_{a\to x}+1+di{s}_{y\to b}$ .

不过要注意的是，加的是无向边，所以要对于走一条边，要分成 $x\to y$ 和 $y\to x$ 两种不同的走法。

复杂度是 $O(q\log n)$ .

#include <bits/stdc++.h>
#define re register int
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10, logN = 50;
struct edge
{
	int to, next;	
}e[N << 1];
int top, h[N], dep[N], st[N][logN], logn;
int n, q;
 
void add(int x, int y)
{
	e[++ top] = (edge){y, h[x]};
	h[x] = top;
}
 
void dfs(int x, int fa)
{
	dep[x] = dep[fa] + 1;
	st[x][0] = fa;
	
	for (re i = 1; i <= logn; i ++)
		st[x][i] = st[st[x][i - 1]][i - 1];
	
	for (re i = h[x]; i; i = e[i].next)
	{
		int y = e[i].to;
		if (y == fa) continue;
		dfs(y, x);
	}
}
 
int lca(int x, int y)
{
	if (dep[x] < dep[y]) swap(x, y);
	
	for (re i = logn; ~ i; i --)
		if (dep[st[x][i]] >= dep[y]) x = st[x][i];
	if (x == y) return y;
	
	for (re i = logn; ~ i; i --)
		if (st[x][i] != st[y][i])
			x = st[x][i], y = st[y][i];
	return st[x][0];
}	
 
int work(int x, int y)
{
	int p = lca(x, y);
	return dep[x] + dep[y] - (dep[p] << 1);
}
 
bool check(int x, int y)
{
	return (x <= y && x % 2 == y % 2 ? true : false); 
}
 
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0); cout.tie(0);
	
	cin >> n;
	logn = log2(n);
	for (re i = 1; i < n; i ++)
	{
		int x, y;
		cin >> x >> y;
		add(x, y);
		add(y, x);
	}
	dfs(1, 0);
	cin >> q;
	while (q --)
	{
		int x, y, a, b, k;
		cin >> x >> y >> a >> b >> k;
		int dis1 = work(a, b);
		int dis2 = work(a, x) + 1 + work(y, b);
		int dis3 = work(a, y) + 1 + work(x, b);
		
		if (check(dis1, k) || check(dis2, k) || check(dis3, k))
			cout << "YES\n";
		else cout << "NO\n"; 
 	}
	return 0;
}