CF1316D Nash Matrix（构造/dfs）

题目

第一次做构造题，做了两节晚自习 qwq

一开始我完全是正着想，首先 $X$ 是显然的，但其他的点就不好做了，

然后我就想，可行的一般结论推不出，那就想反例，然后我想啊想......倒是想到了几个，比如说环与环之间不能有相交，环内外的点不能互相到达，跟本举不完，而且也不好实现，还是要想一般结论。

然后我就去想，怎么从 $(x,y)$ 搜到该点目标 $(tx,ty)$ , 我一开始还默认为路径的长度只能是曼哈顿距离嘞，蒙在鼓里发现这样还有点搞头

后来发现完全可以四个方向随便走，这就真的不好暴搜了。（我直接想现场砸键盘了

其实总结下来就是，一个起点不足矣得到以它的目标 $(tx,ty)$ 为终点的整张 DAG ，所以不好实现。

但是，反过来，如果从终点向四周扩展，找起点，就简单了呀？！

所以可以总结一个一般经验：做构造题，特别是构造图，一定要考虑 正难则反 。

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• 考虑有限路径

正难则反，从每个终点向四周扩散，把目标都是该点的点都定上方向，这在正确构造中肯定是唯一的，所以每个点只染色一次。

• 考虑无限路径

在正确构造中，无限路径肯定成环。

此时需要一点思维，可以发现，如果找到环中的两个相邻点，要构造一个无限循环，其实只要把这两个点互相指向，同时以这两个点向外扩散找环，

这样环上所有的点最后都会跑到这两个点之间反复横跳。

当然，这样的两两点对，对于一个点，可能有四个方向四种情况的其一。

最后，构造完之后，再跑一边图，看一下有没有空的点，有空的就说明给的条件一定不能构造出一个自洽的结果。

#include <bits/stdc++.h>
#define re register int 
using namespace std;
const int N = 1e3 + 10;
const int dx[4] = {0, -1, 0, 1};
const int dy[4] = {-1, 0, 1, 0};
const char rev[4] = {'R', 'D', 'L', 'U'};
struct Map
{
	int tx, ty;
}g[N][N];
int n;
char ans[N][N];
 
void dfs(int x, int y, int sx, int sy)
{
	for (re i = 0; i < 4; i ++)
	{
		int nx = x + dx[i], ny = y + dy[i];
		Map a = g[nx][ny];
		if (nx < 1 || nx > n || ny < 1 || ny > n || ans[nx][ny] || a.tx != sx || a.ty != sy)
			continue;
		ans[nx][ny] = rev[i];
		dfs(nx, ny, sx, sy);
	}
}
 
void work1()
{
	for (re i = 1; i <= n; i ++)
		for (re j = 1; j <= n; j ++)
		{
			Map a = g[i][j];
			if (i != a.tx || j != a.ty) continue;
			ans[i][j] = 'X';
			dfs(i, j, a.tx, a.ty);
		}
}
 
void work2()
{
	for (re i = 1; i <= n; i ++)
		for (re j = 1; j <= n; j ++)
		{
			if (g[i][j].tx == -1 && !ans[i][j])
			{
				if (g[i + 1][j].tx == -1) 
					ans[i][j] = 'D', ans[i + 1][j] = 'U', dfs(i, j, -1, -1), dfs(i + 1, j, - 1, -1);
				
				else if (g[i - 1][j].tx == -1)
					ans[i][j] = 'U', ans[i - 1][j] = 'D', dfs(i, j, -1, -1), dfs(i - 1, j, - 1, -1);
				
				else if (g[i][j + 1].tx == -1)
					ans[i][j] = 'R', ans[i][j + 1] = 'L', dfs(i, j, -1, -1), dfs(i, j + 1, - 1, -1);
				
				else if (g[i][j - 1].tx == -1)
					ans[i][j] = 'L', ans[i][j - 1] = 'R', dfs(i, j, -1, -1), dfs(i, j - 1, - 1, -1);
			}
		}
}
 
void print()
{
	bool flag = false;
	for (re i = 1; i <= n; i ++)
		for (re j = 1; j <= n; j ++)
			if (!ans[i][j])
			{
				flag = true;
				break;
			}
	if (flag) cout << "INVALID\n";
	else
	{
		cout << "VALID\n";
		for (re i = 1; i <= n; i ++)
		{
			for (re j = 1; j <= n; j ++)
				cout << ans[i][j];
			cout << '\n';
		}		
	}
}
 
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0); cout.tie(0);
	
	cin >> n;
	for (re i = 1; i <= n; i ++)
		for (re j = 1; j <= n; j ++)
			cin >> g[i][j].tx >> g[i][j].ty;
	work1();
	work2();
	print();
	return 0;	
}