前缀和 和 差分 思想的一些运用

前缀和

前缀和的基本模型是：

$su{m}_i=\sum _{j=1}^i{a}_j,i\in (1,n)$

若要对 $a$ 的 $[l,r]$ 查询区间和，等价于 $su{m}_r-su{m}_{l-1}$ .

---

树上前缀和

学树上差分顺便学了个前缀和...

点前缀和

路径 $x\to y$ 的点权和为：

$$sum[x]+sum[y]-sum[lca(x,y)]-sum[st[lca(x,y),0]]$$

边前缀和

路径 $x\to y$ 的边权和为：

$$sum[x]+sum[y]-2\times sum[lca(x,y)]$$

一切都是如此显然 qwq

• 题目

P8805 [蓝桥杯 2022 国 B] 机房

P4427 [BJOI2018] 求和

差分

差分的基本模型是：

$d_i=\{\begin{array}{ll}{a}_i-a_{i-1}& ,i\in [2,n]\\ a_1& ,i=1\end{array}$

若要对 $a$ 的 $[l,r]$ 区间进行在线区间修改，等价于 $d_l+k,d_{r+1}-k$ .

最后离线用前缀和还原结果：$a_i=\sum _{j=1}^i{d}_j$ ，$tot=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^i{d}_j=\sum _{i=1}^n(n-i+1)\cdot d_i$ .

---

树上差分

然鹅，这次要重点记录的是 树上差分（学了lca才发现有这玩意），分两种：树上点差分，树上边差分。

先讨论初始值为 0 的情况。

点差分

类似地，假如在一棵树上要对 $x\to y$ 的唯一路径上的所有点 +1，可以定义一个差分数组 $d$，则：

$$d[x]+1,d[y]+1,d[lca(x,y)]-1,d[st[lca(x,y),0]]-1$$

在深搜回溯时累加儿子差值还原，可以发现，$lca(x,y)$ 被访问了两次， 所以要在上面多 -1，其余和模型同理。

边差分

边不好直接处理，但是在树上有个特别的性质，若不看根节点，其余每个点都有一条唯一的边与之对应，这样就巧妙地用点来处理边的信息，则：

$$d[x]+1,d[y]+1,d[lca(x,y)]-2$$

从图中可以看到，$lca(x,y)$ 的点被访问了两次，而其实与之相关的边不在 $x\to y$ 的路径上，直接减掉就可以。

在此基础上，讨论初始值不为 0 的情况。

其实就是在维护前，预处理出每个点 / 每条边的差分值，与模型同理。

具体地，叶子节点的差分值就是它本身，其余节点的差分值 = 该点值 - 所有儿子的值。

回溯还原时，该点值 = 所有儿子的值 + 该点差分值。边的处理同边差分同理（一堆废话）

• 题目

P3128 [USACO15DEC] Max Flow P

P3258 [JLOI2014] 松鼠的新家

P2680 [NOIP2015 提高组] 运输计划