P2115 [USACO14MAR] Sabotage G（二分/思维）

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要求得到平均产奶量的最小值，想到二分答案。

emm...但是我在如何判断当前 $mid$ 是否能成立上卡了好久，这里就需要思维了。

还是要想到本质上，可以试着用数学式子表达当前 $mid$ 的合法条件，

若当前要删除 $[l,r]$ 的数，则有：（这里又可以想到用 前缀和 预处理）

$$\begin{array}{rl}\frac{S_n-Sr+S_{l-1}}{n-r+(l-1)}& ⩽mid\\ S_n-Sr+S_{l-1}& ⩽mid(n-r+l-1)\\ S_n-Sr+S_{l-1}-mid(n-r+l-1)& ⩽0\\ \sum _{i=1}^m(a_i-mid)& ⩽0(m\in [1,l-1]\cup [r,n])\end{array}$$

到这里应该是最简式子了。

而知道 $l,r$ 是不定的，应该怎么取？如果这个式子成立，直观上肯定知道不可能所有取值都能满足，

也就是说，$$\mathrm{\exists }l,r\in [2,n-1],l⩽r,\sum _{i=1}^m(a_i-mid)⩽0$$

那不就 一定有 :

$$[\sum _{i=1}^m(a_i-mid){]}_{min}⩽0$$

所以 $l,r$ 只要每次取到最小值，判断所有最小值中只要有一个成立就可取 $mid$

因此，思路也就来了，构建新的数组表达 $a_i-mid$ ，

在此上，由于从中间删除，则需要求一个前缀和一个后缀和，同时分别维护最小值，

最后注意，头和尾不能删，也不能一个都不删。

#include <bits/stdc++.h>
#define re register int
#define min(x, y) (x < y ? x : y)
using namespace std;
typedef double db;
const int N = 1e5 + 10;
const db eps = 1e-5, inf = 0x3f3f3f3f;
int n;
db a[N], l, r, b[N], s1[N], s2[N], s1min[N], s2min[N];
 
bool check(db mid)
{
	for (re i = 0; i <= n + 1; i ++)
		s1min[i] = inf, s2min[i] = inf;
	for (re i = 1; i <= n; i ++) b[i] = a[i] - mid;
	for (re i = 1; i <= n; i ++)
	{
		s1[i] = s1[i - 1] + b[i];
		s1min[i] = min(s1min[i - 1], s1[i]);
	}	
	for (re i = n; i ; i --)
	{
		s2[i] = s2[i + 1] + b[i];
		s2min[i] = min(s2min[i + 1], s2[i]);
	}
	for (re i = 1; i <= n - 2; i ++)
	{
		if (s1min[i] + s2min[i + 2] <= 0) 
			return true;
	}
	return false;
}
 
void search()
{
	l = 1, r = N;
	while (l + eps < r)
	{
		db mid = (l + r) / 2;
		if (check(mid)) r = mid;
		else l = mid;
	}
}
 
int main()
{
	scanf("%d", & n);
	for (re i = 1; i <= n; i ++) cin >> a[i];
	search();
	printf("%.3lf\n", l);
	
	return 0;
}
 

类似： P1419 寻找段落