知识点

—— 图论 ——

最短路 / 最小生成树

Part Ⅰ 图论建模

化点权为边权
P1938 [USACO09NOV] Job Hunt S
P3393 逃离僵尸岛（注意 bfs 时要考虑防止对之后点的阻断）

拆点、拓维（——分层图）
P1948 [USACO08JAN] Telephone Lines S

P2939 [USACO09FEB] Revamping Trails G
P4822 [BJWC2012] 冻结
 P4568 [JLOI2011] 飞行路线
 P4009 汽车加油行驶问题（有一个贪心点（也不重要，不过一开始我没想到），注意一个油库重复经过一定比只经过一次劣）

P1073 [NOIP2009 提高组] 最优贸易
 P1266 速度限制（多开速度一维）
CF1486E Paired Payment（这题直接建分层图有点极限，空间刚好卡过去了，也可以用多维数组做，先 mark 一下 link）
CF1473E Minimum Path（dp思想转化一下，就是一道很典的多维最短路）
UVA11367 Full Tank?（拆点，且必须拓维，若建图会超时，注意 dijstra 的本质，进行时效的优化（其实这题也很极限））
P9751 [CSP-J 2023] 旅游巴士 $*$
P4011 孤岛营救问题[CTSC1999]（直观上会对当前钥匙状态拆点，但是看 y总写得贼长代码，其实实质就是状态压缩（不同种类的钥匙 1~10，不可能开十位记录，可以用二进制数位记录，压缩为一维，nice） + bfs，很考思维，要么就考码力啦）

虚点 /虚边建图
CF1775D Friendly Spiders（建公因数虚点，原图边权为 1，可以直接跑 bfs 记录深度求最短路径）

CF1941G Rudolf and Subway
P7646 [COCI2012-2013#5] HIPERCIJEVI
[ARC061E] すぬけ君の地下鉄旅行（注意同一家地铁线路不一定联通，且求的是花销（做过的地铁线再遇到仍需花钱上车），考虑标记不同联通块建虚点，我用的并查集，（调了两天...））

CF1245D Shichikuji and Power Grid（最小生成树 + 虚点）

AcWing 1146. 新的开始

虚拟源点、反图

AcWing 1137. 选择最佳线路（两种思路都可以）
P1629 邮递员送信

P1342 请柬

Part Ⅱ 最短路

P1462 通往奥格瑞玛的道路（+ 二分）
P5767 [NOI1997] 最优乘车
 P1948 [USACO08JAN] Telephone Lines S（+ 二分）
P3008 [USACO11JAN] Roads and Planes G（很妙的一道题，正权连通块内跑 dij，连通快间属于含负边权的 DAG，直接跑拓扑排序，思路简单，但很锻炼码力）

——次短路 - k 短路
（次）P2865 [USACO06NOV] Roadblocks G（注意同时用到多个数组）

floyd 及其拓展应用

P1119 灾后重建（出题人良心，询问每次的 t 给出的大小顺序是不降的（一开始还没看出用意））
CF295B Greg and Graph $*$

——传递闭包
B3611 【模板】传递闭包
 P1347 排序
 P2419 [USACO08JAN] Cow Contest S

P2881 [USACO07MAR] Ranking the Cows G（bitset 优化到 $O (\frac{n^{3}}{w})$ ，w = 32（int））

——无向 /有向图最小环
P6175 无向图的最小环问题（floyd 好题，真的好题，要真的学懂 floyd 的本质）

AcWing 344. 观光之旅（记录最小环节点）

同余最短路 $*$
最短路计数 $*$

Part Ⅲ 最小生成树

P2323 [HNOI2006] 公路修建问题（贪心思维）
P1967 [NOIP2013 提高组] 货车运输（生成树 + lca，可以用 lca 维护生成树上两点间的唯一路径）

P9235 [蓝桥杯 2023 省 A] 网络稳定性
 P2245 星际导航

P2502 [HAOI2006] 旅行（多次生成树判定，两整数求最大公约数技巧）
P3101 [USACO14JAN] Ski Course Rating G、P2658 汽车拉力比赛（二分 + 生成树） $*$
P2798 爆弹虐场（二分 + 多边权生成树）
AcWing 346. 走廊泼水节（类最小生成树）
AcWing 1145. 北极通讯网络（一眼二分，注意不要把该写 double 的类型写成 int 了，这题我 kruskal 调用 mid 就手快写成了 int，调了半天...）

【练习】

P8207 [THUPC2022 初赛] 最小公倍树（kruskal 优化建图， lcm(x, y) * gcd(x, y) = x * y）

[ABC287Ex] Directed Graph and Query（floyd 对 dp 数组定义的本质，bitset 优化）

[ABC208D] Shortest Path Queries 2

P2149 [SDOI2009] Elaxia的路线（这题解法之前还真没写过，求两点对的最长公共路径（可以顺交、逆交），用 dij 跑完最短路。。。哦，好吧，之前做过，但是这题是取交集。继续，之前，如果要求一个正权无环图中的最短路的最长路径，就是跑 dij 完得到最短路后对原图最短路经过的边建一个 dag（易证明），再在 dag 上跑个 topsort 记录最长路径。而这题同理，不过是在交集边上建 dag， 构造最短路图好题）
[ABC302F] Merge Set（虚点）

二分图

（不存在奇环、染色法不矛盾）

二分图判定：染色法
P1525 [NOIP2010 提高组] 关押罪犯（+ 二分）

最大匹配
P3386 【模板】二分图最大匹配（匈牙利算法，贪心 + dfs）

P1894 [USACO4.2] 完美的牛栏The Perfect Stall
P2071 座位安排（注意数空间范围）
P2055 [ZJOI2009] 假期的宿舍

AcWing 373. 車的放置（模型：Ⅰ.节点能分成两个独立的集合，每个集合内没有边 Ⅱ.每个节点只能与一条匹配边相连）
AcWing 372. 棋盘覆盖（建立二分图模型思想）

P1129 [ZJOI2007] 矩阵游戏（矩阵的行列 可以是构建模型的方向，发现行之间或列之间变换显然不改变最大匹配数，且目标状态总有最大匹配数 = n 的性质）
P2065 [TJOI2011] 卡片（一眼 gcd + 最大匹配，有些超时不过可以拿到很可观的分数 70pts，要用质因数分解优化建图） $*$
P6268 [SHOI2002] 舞会（染色标记建二分图）
P2526 [SHOI2001] 小狗散步

——不完全最大匹配（有约束条件）
P1640 [SCOI2010] 连续攻击游戏（因为一个装备的两个属性不能同时用，考虑可以对装备的属性向装备编号连边，满足二分图匹配要求；注意：此题要求属性值连续递增，若某点不合法，便直接 break，所以 O(nm) 的匈牙利实际上跑不满）

P2319 [HNOI2006] 超级英雄

—— 多重分配
AcWing 374. 导弹防御塔（多重匹配：拆点法 + 实数二分，注意 eps 精度）

——最小点覆盖（= 最大匹配数）
UVA1194 Machine Schedule（模型：Ⅲ.每条边有两个端点，二者至少选一个）
AcWing 406. 放置机器人（O(n^2) 标记分隔连通块技巧）

P2825 [HEOI2016/TJOI2016] 游戏（崩了，有矩阵的时候多注意链式前向星的范围）
P6062 [USACO05JAN] Muddy Fields G
P1263 [CEOI2002] Royal guards（输出方案，通过 match[] 关联坐标与连通块编号）

——最大独立集（= 总点数 - 最小点覆盖）
P3033 [USACO11NOV] Cow Steeplechase G

P7368 [USACO05NOV] Asteroids G

最小路径点覆盖
P2172 [国家集训队] 部落战争

【网络流与线性规划 24 题】

P3355 骑士共存问题（最大独立集，向八个方向遍历的顺序会极大影响程序的时效......玄学）

P4304 [TJOI2013] 攻击装置
 P5030 长脖子鹿放置（注意到走“目”字总有列的奇偶性相反或行的奇偶性相反）

P2756 飞行员配对方案问题（最大匹配）
P2763 试题库问题（多重匹配，对拆点的编号处理与遍历有些麻烦）
P2764 最小路径覆盖问题（最小路径点覆盖板子，注意输出方案时，应先保证右部（入点）无入度的点先递推，再对左部（入点）还未遍历的点递推，也就是先得到较长的覆盖路径，贪心保证得到较小路径数）

UVA1184 Air Raid

P2765 魔术球问题（最小路径点覆盖好题，需要反推和一些优化）
P4011 孤岛营救问题（额...一道基于拆点思想的状态压缩 + bfs 怎么会在网络流专题里 qwq，不对，是我太蒻了，想不到二分图的做法）
P4009 汽车加油行驶问题（真的，分层图板子）

tarjan

有向图连通性相关

强连通分量 scc
P2863 [USACO06JAN] The Cow Prom S /【模板】强连通分量

B3609 [图论与代数结构 701] 强连通分量（输出有点麻烦，我开的优先队列存总共 $O ((n + m) \log n)$ ）

P1407 [国家集训队] 稳定婚姻（注意该题形成环必为偶环的特殊性质，从而想到建有向图思路）

——scc 缩点
P2812 校园网络（其实缩点也不需要真的建边，这题就可以直接算度数就行啦）

P2746 [USACO5.3] [IOI2001] 校园网Network of Schools
UVA12167 Proving Equivalences
一堆水题 ... 闭眼切
P2002 消息扩散
 P2835 刻录光盘
 P7251 [JSOI2014] 强连通图

P3387 【模板】缩点（缩点，用拓扑排序跑 DAG 最长路）
P2341 [USACO03FALL / HAOI2006] 受欢迎的牛 G（计算答案的策略有些坑（可能只是我太蠢了qwq））
P1262 间谍网络（细节题，好多细节坑点）
P4819 [中山市选] 杀人游戏（注意在对答案有贡献的scc缩点后入度为0且节点数为1的scc，所连向的所有邻点都可以由其他点到达，那么这个点在查询完了其他点后，它的情况就确定了，但是这种特殊情况只能少查询最多1个节点，这是显然的，若有多个点满足条件，也无法确定情况，只有查询到最后剩一个节点才能确定。还有，需要缩点后计算入度的题目，总是考虑是否要去重边！！）
P9431 [NAPC-#1] Stage3 - Jump Refreshers（小清新题，转化一步就是典了，但是这题莫名卡数据范围还是什么，边数开到 1e7 才过？？）
P2272 [ZJOI2007] 最大半连通子图 $*$
P2921 [USACO08DEC] Trick or Treat on the Farm G（缩点，环内、环外分类讨论即可）

[ABC357E] Reachability in Functional Graph

有向图的必经点、边 $*$

2_sat $*$

无向图连通性相关

割点 -> 点双连通分量 v-DCC
P3388 【模板】割点（割顶）
P8435 【模板】点双连通分量（注意判断自环）
P3469 [POI2008] BLO-Blockade（割点，统计size，分类讨论贡献）
P3225 [HNOI2012] 矿场搭建（这题我的代码吸氧会挂，直接全 wa，不吸氧却能ac，很玄学的东西，听别人说是 UB（undefined behavior））

（到底是谁套谁的题 ...）
SP16185 Mining your own business
UVA1108 Mining Your Own Business

割边/桥 -> 边双连通分量 e-DCC
P1656 炸铁路 /【模板】割边（桥）
P8436 【模板】边双连通分量（链式前向星存双向边的异或关系）

——v-DCC 缩点

——e-DCC 缩点

——无向图的必经点、边 -> 圆方树
P3854 [TJOI2008] 通讯网破坏（构造圆方树，将判断图上路径的必经点转化为树上的是否为简单路径上的点，用 lca 维护）
P4320 道路相遇（码农题，，，）
P5058 [ZJOI2004] 嗅探器（注意，记录路径上编号最小的割点不能把记录变量放到全局定义，这样会导致记录到 dfs 经过的所有合法割点中的最小值，路径上的必须定义在函数中，边走边实时记录）
P4606 [SDOI2018] 战略游戏（由两点拓展到 k 个点，即在线刻画一个包含给定点集的圆方树上最小连通块，求里面除了点集外的其余圆点，考虑根据 dfn 序从小到大两两枚举点对之间的简单路径统计贡献，发现这样做刚好得到两倍的所求连通图上信息，注意细节处理，好题）

——欧拉路问题 $*$

【练习】

P8287 「DAOI R1」Flame（bfs + 二分 + tarjan 判环（当然什么方法判环都可以），注意这里用 tarjan 如果只是简单判环，可以剪枝，不剪枝还会 T）
P2169 正则表达式（scc缩点后 dag 上跑最短路，板子）

P3627 [APIO2009] 抢掠计划（最长路）

P2783 有机化学之神偶尔会做作弊（以前一直想做这道题，终于切掉了也是，就是边双缩点 + lca，细节比较多，注意：求边双的时候，记得注意要不要去重边！）
P2194 HXY烧情侣（scc缩点，乘法原理）
P2860 [USACO06JAN] Redundant Paths G（注意，这题如果只是从统计边双大小为 1 的点角度做，是假的，可以举反例，比如两个大小为 2 的边双之间，只有一条边相连，此时还必须加一条边才行。所以必须边双缩点后做，此时显然就是统计叶节点）
P4742 [Wind Festival] Running In The Sky（细节板子）
P4306 [JSOI2010] 连通数（用拓扑跑经过的点数是假的，可以构造出重复统计同一个点的反例，所以，这题可以用 bitset 进行或运算规避，每次操作时间复杂度是 $O (\frac{n}{w})$ 的，所以这样总的复杂度就是 $O (\frac{n (n + m)}{w})$ ，依然轻松可过）

拓扑排序

B3644 【模板】拓扑排序 / 家谱树

P1137 旅行计划
 P3074 [USACO13FEB] Milk Scheduling S（求一个最长路，有一点 dp 思想在里边？可能只是简单的递推结构）
P10480 可达性统计（从集合的角度思考，用 bitset 压位，妙妙题）
P4645 [COCI2006-2007#3] BICIKLI

P1038 [NOIP2003 提高组] 神经网络（喜欢做这种模拟具体模型的题目 qwq）
P1983 [NOIP2013 普及组] 车站分级（虚拟中继点（使 n^2 建图直接弱化到 2n，nb），拓扑排序，在拓扑序里跑最长路）
P4376 [USACO18OPEN] Milking Order G（二分 + 拓扑排序） $*$

树论

树基础

树的重心
U104609 【模板】树的重心

树的直径
B4016 树的直径
 P3629 [APIO2010] 巡逻（思维好题，结论很好贪心得到，两种求直径的方法都用到了）
P4408 [NOI2003] 逃学的小孩（+ 树上前缀和求两点间路径，水题haha）
CF455C Civilization（+ 并查集，动态合并维护直径，注意中点特殊性质，求边权为 1 的树的半径）

P2195 HXY造公园

[AGC001C] Shorten Diameter（中点）
P3761 [TJOI2017] 城市（可以 O(n^2) 暴力枚举求树的半径，但边权不为 1，有点麻烦） $*$
P5536 【XR-3】核心城市 $*$
CF734E Anton and Tree（缩点思想（但不需要真的缩点，然后一眼结论秒了）
P2491 [SDOI2011] 消防（转化很妙，双指针动态维护约束 s，然后分直径上和外挂在直径上的点分讨）

P1099 [NOIP2007 提高组] 树网的核（md，这题描述简直是令人作呕。。）

P2610 [ZJOI2012] 旅游（妙妙题，把三角形看作点）

——直径的必经点、边问题
P3304 [SDOI2013] 直径（求直径的必经边）

最近公共祖先 LCA

——倍增 LCA
P3379 【模板】最近公共祖先（LCA）

又是水题耶
P8855 [POI2002] 商务旅行

P5836 [USACO19DEC] Milk Visits S（稍微拓展了一下）
CF519E A and B and Lecture Rooms（lca + 分类讨论（找到两点路径上的中点技巧））

P6374 「StOI-1」树上询问（这题也涉及很多树上的基础操作）

CF33D Knights（思维好题，将圆转化为树上的点跑 lca，同时也有类似建立虚点的技巧（虚根），代码实现也很考验码力，好好好题）
CF1981C Turtle and an Incomplete Sequence $*$
CF609E Minimum spanning tree for each edge（一道很典的题目，一道用 lca 维护路径上边权最大值的题目套了一个最小生成树，用 lca 维护路径信息，很经典）

——Tarjan LCA $*$
——树链剖分 LCA $*$

——LCA + 树上前缀和
P8805 [蓝桥杯 2022 国 B] 机房
 P4427 [BJOI2018] 求和（注意 mod 和 longlong）
CF1304E 1-Trees and Queries（树上简单路径具有奇偶性，妙不可言呐这题）
P3398 仓鼠找 sugar（树上两条路径是否相交 trick：若两点的 lca 在另两点的路径上，则一定相交，否则，一定不相交）

——LCA + 树上差分
P4281 [AHOI2008] 紧急集合 / 聚会（要学会从题目中或手摸几个样例找特殊性质）
P3128 [USACO15DEC] Max Flow P
P3258 [JLOI2014] 松鼠的新家（注意路径重复走过 $a_{2} \dots a_{n - 1}$ ，同时注意 $a_{n}$ 的特殊性）
CF191C Fools and Roads
AcWing 352. 闇の連鎖（需要一些转化）
P2680 [NOIP2015 提高组] 运输计划（ + 二分、贪心，好题）
P6869 [COCI2019-2020#5] Putovanje（haha，很简单的转化）

**基环树 $*$**

P8655 [蓝桥杯 2017 国 B] 发现环（理解概念，可以用扫描一遍拓扑序找环（无向））
P6037 Ryoku 的探索（简单分环上和子树上讨论）

——基环树直径
AcWing 289. 环路运输（本质，求基环树直径中对环上的操作其实就是做一个环形 dp，这里用到单调队列优化）

树链剖分

P3384 【模板】重链剖分/树链剖分（接近200行的代码。。。我居然一遍就调过去了，没开longlong）
P7746 [COCI2011-2012#3] PLAĆE（树剖 + 区修、点查，注意，不包括该点的子树编号范围是 [id[x] + 1, id[x] + siz[x] - 1]）
P3038 [USACO11DEC] Grass Planting G（点权转边权，边上的树剖板子）

P4315 月下“毛景树”（不想调了，劳了） $*$

P2146 [NOI2015] 软件包管理器（2015......那也几乎是10年前了，水蓝啦）
P2590 [ZJOI2008] 树的统计
 P3833 [SHOI2012] 魔法树（第一道敲一遍就过的板子 qwq，我这效率。。。）
P3178 [HAOI2015] 树上操作
 AT_past202010_m 筆塗り
 GOT - Gao on a tree（set 暴力维护， $O (n \log^{3} n)$ 居然把 1e5 的数据冲过去了！）

P5838 [USACO19DEC] Milk Visits G

CF343D Water Tree
P6098 [USACO19FEB] Cow Land G

<--- 手动分割线 qwq --->

P4211 [LNOI2014] LCA（离线，运用前缀和思想，半年没调出来） $*$
P4312 [COI2009] OTOCI（离线 + 并查集维护连通性，注意判环）

OTOCI - OTOCI

P9432 [NAPC-#1] rStage5 - Hard Conveyors（dijkstra + 板子，削(xue)微要一些转化吧）
P1505 [国家集训队] 旅游（是的，毒瘤题） $*$
P2542 [AHOI2005] 航线规划（这题涉及的思想很重要，维护连通性可以用并查集，虽然加边好维护，但删边是不好维护的，所以这题离线下来，反向操作，再将关键边转化成边权） $*$

——长链剖分
P10641 BZOJ3252 攻略

[ABC369G] As far as possible（小小转化）

【貌似有个 qtree 系列题】

P4114 Qtree1（map 大法好！）
P4116 Qtree3（深度不能与点编号一一对应，但是 id[] 序可以，然后就是板子了）

P4092 [HEOI2016/TJOI2016] 树（注意映射关系的含义，老是会搞错，以后调试的时候多加留心这部分）

【练习】

P7167 [eJOI2020 Day1] Fountain（倍增，单调栈预处理，图论建模，小综合，好题）
P1351 [NOIP2014 提高组] 联合权值（分祖孙和兄弟讨论）
P8972 『GROI-R1』一切都已过去（注意到两数乘积要进位，且为整数位，只能是 2 * 5，还有，为什么又要开 longlong...）

负环

P3385 【模板】负环

P2850 [USACO06DEC] Wormholes G
P2136 拉近距离（我是源点，你是终点。我们之间有负权环。 ——小明（nm，这句话误导我 qwq））

P2868 [USACO07DEC] Sightseeing Cows G（01分数规划，变形式子后直接上就是求是否存在正环，这里，跑最长路判正环与跑最短路判负环是对称的，前者如果存在环会跑到正无穷，而后者会跑到负无穷。还有就是图不一定联通，所以 spfa 初始化要把所有点入队，这里可以用对所有点建立虚拟源点（使图联通且不会产生新环）理解，这是等价的）

P1768 天路

[ARC173D] Bracket Walk（一点点转化，注意：在无向图中讨论连通性，在有向图中讨论强连通性，即若图中两点能互相到达，在无向图中称连通图，在有向图中称强连通图）

差分约束

P5960 【模板】差分约束（将不等式转化为边）
P3275 [SCOI2011] 糖果（tmd，加上信仰优化和 stack 优化还卡了我的 spfa 两个点玄学 wa） $*$
P1250 种树

真五倍经验 qwq，~~空虚地刷经验~~
P1645 序列
 P1986 元旦晚会
 SP116 INTERVAL - Intervals
UVA1723 Intervals

[ABC216G] 01Sequence（这题显然卡 spfa，不用 spfa，那只能用 dij 跑了，所以这里的对于区间 [l,r] 至少有 x 个 1 可以反向为至多有 r - l + 1 - x 个 0，变成求最大值的问题，就能跑最短路了，且边权为正）
P2474 [SCOI2008] 天平（差分约束 + floyd，一点贪心）

网络流

—— 数据结构 Date Structure ——

基础数据结构

栈

——单调栈
P5788 【模板】单调栈（跟单调队列的区别在于，因为栈是后进先出，不能从栈底出栈，所以栈底是静态的，不会受到下标的影响，注意：s[top] 是当前的最优决策）

P2947 [USACO09MAR] Look Up S
P2866 [USACO06NOV] Bad Hair Day S

P9210 蓬莱「凯风快晴　−富士火山−」（维护树上信息跑单调栈）

堆（二叉堆，优先队列）

其实很多题目都是贪心

P3378 【模板】堆
 P3045 [USACO12FEB] Cow Coupons G（反悔贪心，维护三类值的小根堆）
Supermarket

P2949 [USACO09OPEN] Work Scheduling G

P1631 序列合并（因为单调不降，可以列出n行不等式链，贪心，初始把最小列都进堆，维护一个小根堆，查找 k 次，对于每次查找的堆顶 $a_{i} + b_{j}$ ，显然未选的最小值就是 $a_{i} + b_{j + 1}$ （钦定从上至下 a 下标递增的矩阵情况下），就这样。又忘记重载运算符的大小于号是与实际含义相反的了eee (⊙﹏⊙)）

K Smallest Sums（k 维拓展版，但是数据弱了，直接套个循环 $O (k^{2} l o g k)$ 水过去嘿嘿）

P8769 [蓝桥杯 2021 国 C] 巧克力（逆序遍历，防止出现有一些价格较贵但保质期较短的物品落选，导致最后几天没有物品可选的情况）
P4053 [JSOI2007] 建筑抢修（幽默蓝题，首先一定是按照 t2 从小到大修，如果当前能修则修，不能修，贪心地将当前 t1 最大的报废掉是最优的）

——对顶堆

一个查询第 k 大/小的数的 trick，很好写，也很快， $O (n \log n)$ 接近线性，就是用两个堆（大、小根堆）维护序列的单调性

P1168 中位数
 P1801 黑匣子（此题 k 是动态的，对顶堆动态维护同样方便）

Black Box

st表

tip：注意到 st表在 O(1) 查询时，是将区间进行分割，一分为二，用两段 $2^{k}$ 长度的区间取最优解，其中会有 重叠区间，因为 $2^{k} \leq r - l + 1 < 2^{k + 1}, k = ⌊ l o g_{2} (r - l + 1) ⌋$

所以，st表一般用于求解满足结合律的 可重复贡献问题，例如最大值 max(a, b, c) = max(max(a, b), max(b, c))，但是区间和则不能维护，a + b + c ≠ (a + b) + (b + c)

每次调用 log2() 并不值得，可以预处理个数组出来， lg[i] = lg[i / 2] + 1, i $\in$ [1, n], lg[0] = -1（使得 lg[1] = 0）

P3865 【模板】ST 表 && RMQ 问题
 P9704 「TFOI R1」Tree Home（化简式子，分类讨论，维护四个st表（这里我运用了构造函数的思想，寻找相似的部分，实际上就简化到只要开两个数组就好了，不过是三维 qwq），码量比较大，练手好题）
P9027 [CCC2021 S5] Math Homework $*$
P8818 [CSP-S 2022] 策略游戏（qn^2 -> n^3 暴力 20 分，nmlogm + qn -> n^2 每行维护一个 st 表有 60 分，线性做法要分类讨论，维护六个 st 表）
P4085 [USACO17DEC] Haybale Feast G（双指针 + st表）

发现 st表不支持修改操作。。。所以。。。

进阶数据结构

树状数组

P3374 【模板】树状数组 1（点修 + 区查）
P3368 【模板】树状数组 2（区修 + 点查，差分）
P3372 【模板】线段树 1（区修 + 区查，码量是线段树的一半，但是要变形一下求和式，维护两个树状数组）
P10589 楼兰图腾（乘法原理）

P1908 逆序对（+ 离散化，这题也是按值建树状数组，感觉是个会很常见的套路）

线段树（Wow(＾－＾)V

P3372 【模板】线段树 1（pushdown 懒标记实现区间加）

P2846 [USACO08NOV] Light Switching G
P3870 [TJOI2009] 开关
 P2574 XOR的艺术

P3373 【模板】线段树 2（懒标记优先级）

P1253 扶苏的问题（简单实现多个懒标记维护，区间修改和区间加）

P10463 Interval GCD（区修 + 区间查询 gcd，发现形如 “对 [l, r] 区间都加上 k” 这样的修改操作，一般可以往差分方向转化，同时，这题用到一个数学定理： $gcd (a_{1}, a_{2}, a_{3}, . . ., a_{n}) = gcd (a_{1}, a_{2} - a_{1}, a_{3} - a_{2}, . . ., a_{n} - a_{n - 1})$ ，刚好适合维护差分数组意义下的原数组区间 gcd）
P4392 [BOI2007] Sound 静音问题（简单的区间 max/min，st 表也可做）
P3801 红色的幻想乡（维护多颗线段树，简单容斥，使用指针数组传参减小码量）
P1558 色板游戏（状态压缩，很典）
P8856 [POI2002] 火车线路（简单转化，注意一次购票的终点站不算占座，且不能满足的需求不要更新啊喂）
P4588 [TJOI2018] 数学计算（第一眼看好久都没头绪，还有，这题说明 除法不能直接取模，但是这题如果从时间角度来看，就是两种单点修改而已，操作一就是在表示当前时间点的节点变为 m，操作二虽然是除 pos 时间的 m，其实就等价于将 pos 时间节点的值重置为 1，维护区间乘，按时间戳建线段树，好题）
P1471 方差（维护区间方差，简单式子变形，注意维护区间 $\sum a^{2}$ 要调用没被修改前区间 $\sum a$ ，注意优先级）

P2122 还教室（按分式输出） $*$
P5142 区间方差（tnnd，还要对分式取模，逆元） $*$

[ABC352D] Permutation Subsequence（通过映射转化满足约束，然后套线段树板子，这题的转化有点小妙）
P11217 【MX-S4-T1】「yyOI R2」youyou 的垃圾桶（线段树上二分）
P1438 无聊的数列（差分板子，确实没味）

——扫描线
P5490 【模板】扫描线 & 矩形面积并 $*$

IMBOX - Destroying the Weapon Warehouse
（永远无法逾越的大山。。。）

P7764 [COCI2016-2017#5] Poklon（离线，扫描线思想，很形象，可能这就是广义的扫描线 —— 离散小波变换°）

P1972 [SDOI2009] HH的项链（同类型，不过约束是统计不同类型，以及下面两道到水蓝，嘿嘿）
DQUERY - D-query
[ABC174F] Range Set Query
P4113 [HEOI2012] 采花（仍是变式，但是这题卡得有点紧啊，换上树状数组、快读，把 map 改成数组，常数才够卡过去）

——动态开点
CF915E Physical Education Lessons

——线段树优化 dp -> 动态规划 - 数据结构优化 dp

【spoj GSS 经典组题】

GSS1 - Can you answer these queries I（维护最大子段和，不喜欢写结构体式线段树。。。）

GSS3 - Can you answer these queries III（+ 点修）
P4513 小白逛公园
 P6492 [COCI2010-2011#6] STEP（套路类似，通过维护区间前缀和/后缀和来进行区间信息合并操作）
[ABC341E] Alternating String（上一题的去修 + 区查版本，代码打吐了要 🤮）

GSS4 - Can you answer these queries IV（势能线段树板子，就是加上剪枝？注意到 $\sqrt{1} = 1$ ）

P4145 上帝造题的七分钟 2 / 花神游历各国

ds 优化建图（线段树）

CF786B Legacy（这题边数难以估计，最好用 vector）
P6348 [PA2011] Journeys（在出树和入树之间等价地建一个虚点，另外，能用 01-bfs 就用）

分块

loj 数列分块入门合集 by hzwer

#6280. 数列分块入门 4（从最熟悉的区间偏移 + 区间求和开始）
#6277. 数列分块入门 1（改成点查）
#6278. 数列分块入门 2（维护区间 < x 的个数，在块上修改时 re_sort，查询时二分，时间复杂度可以做到 $O (\sqrt{n} \log \sqrt{n}) - O (\sqrt{n} \log \sqrt{n})$ ，还有非常注意：如果要调用 vector 的 .begin() .end() 之类的指针，注意它是 0-index 的）

P2801 教主的魔法
 UVA12003 Array Transformer
SP18185 GIVEAWAY - Give Away

#6279. 数列分块入门 3（稍微改改即可（懒得用 set 了 qwq）
#6281. 数列分块入门 5（开方操作，类似势能分析剪枝，可以发现一个数 n <= 50000，至多开方下取整 4 次后变成 1 或 0，而 1 或 0 再开方就没必要了，跳过即可，所以完全可以暴力做中间的整块，时间复杂度是 $O (n^{2})$ 的，但是显然跑不满）
#6282. 数列分块入门 6（动态分块，对于非随机数据插点，要保证每次修改操作为 $O (\sqrt{n})$ 就要保证块长尽量均衡，也就是要重新分块）
#6283. 数列分块入门 7（区间加和区间乘）
#6284. 数列分块入门 8（区间查询给定值个数）
[ABC339G] Smaller Sum（3.5s 注意卡常，分块卡常主要是调整块数和块长之间的大小）

【练习】

P2048 [NOI2010] 超级钢琴（rmq 结合优先队列好题，细节处理较多）
P9565 [SDCPC2023] Not Another Path Query Problem（位运算分log层，并查集维护连通性）
P10350 [PA2024] Modernizacja Bajtocji（简单并查集应用，但是建模思维好题！）
CF280B Maximum Xor Secondary（单调栈）
[ABC352D] Permutation Subsequence（映射，转化为求区间max，min，滑动窗口，st表，线段树都可以做）
CF242E XOR on Segment（线段树维护位运算操作，trick：拆位）
CF438D The Child and Sequence（势能分析线段树，mod 结论剪枝优化： $x \mod p < \frac{x}{2} (p < x)$ ）

并查集 - 带权、扩展域并查集

字典树

笛卡尔树

平衡树（AVL、Splay、Treap、替罪羊树）- 后缀平衡树

NOI级

可并堆

分块

可持久化

树套树

块状链表

主席树

舞蹈链（DLX）

KDtree

启发式合并

珂朵莉树

—— 搜索 ——

CF1276B Two Fairs（很有意思，求互异于给定的两点 a, b 的点对 (u, v)，要求 u - v 的所有路径必须经过给定两点，很像学 tarjan 时的割点，其实就把图抽象为以 a，b 为界的三部分 dfs 出 a 的左部， b 的右部然后乘法原理即可，还有，清空链式前向星其实只要把队头数组清零（和 top））
[ABC067D] Fennec VS. Snuke（简单博弈，显然转化为简单路径上观察即可）
[ABC251F] Two Spanning Trees（dfs、bfs本质理解）
P4668 [BalticOI 2011 Day1] Treasures and Vikings（跑地图经典题）
P7775 [COCI2009-2010#2] VUK（二分）
P7284 [COCI2020-2021#4] Patkice II（bfs，虽然我用的是 dij 跑的 eee，但这题练习图论建模还是不错，细节有一丢丢吧，好题）
P1034 [NOIP2002 提高组] 矩形覆盖（第一次写封装到 struct 里的函数，确实简洁许多）

剪枝、记忆化

启发式搜索（A*）

迭代加深搜索（IDA*）

双向广搜

随机化搜索

—— 动态规划 Dynamic Programming ——

线性 / 序列 dp

B3637 最长上升子序列（用贪心 + 二分可以 O(nlogn) 解决）
P1439 【模板】最长公共子序列

CF10D LCIS（发现决策集合重复扫描，决策集合元素只增不减，实时记录代替循环）

P1216 [USACO1.5] [IOI1994]数字三角形 Number Triangles
（基础很重要 ...）

UVA437 巴比伦塔 The Tower of Babylon（可以用 DAG 建模的方式思考）
SP15637 GNYR04H - Mr Youngs Picture Permutations
P1006 [NOIP2008 提高组] 传纸条

（削弱版 qwq，因为我做传纸条的思路包括可以重复走，但是重复走只累加一次贡献。虽然是不能重复走，但是重复走累加一次贡献一定是小于不重复走累加两次，所以一定会被更优解更新掉，也就刚好符合方格取数哈哈）
P1004 [NOIP2000 提高组] 方格取数

SP703 SERVICE - Mobile Service（动态规划转移相当于在 DAG 上走边，一般有两种方式：Ⅰ 用它所依赖的状态更新当前状态， Ⅱ 用当前状态更新依赖它的状态，分别对应当前点的入边、出边。这道题目用后者，因为对于当前位置 i 且另外两点在 x, y 的三元组 (i, x, y) ，它的入边可能有很多种情况，但出边永远只有三条：x -> i + 1，y -> i + 1，z（i） -> i + 1）

前缀和优化

P2513 [HAOI2009] 逆序对数列
 [ABC179D] Leaping Tak（终于遇到一个简单的题目了）
[ABC222D] Between Two Arrays
[ABC183E] Queen on Grid（二维，分三个方向前缀和）
AT_dp_m Candies（一眼秒 ...... 不是，哥们，为什么你会是绿题 qwq）
UVA1650 / hdu4055 数字串 Number String（如果只是定义 f[i, j] 表示前 i 个数且末尾为 j 的合法序列的方案数，考察 i - 1 和 i，我们并不知道 1 ~ i- 2 位是否填过 j，但并不影响统计，因为题目 只约束了相对大小而没有要求绝对大小，所以即使对于某一方案已经填过 j 了，也可以等价地将先前所有 >= j 的数 + 1，这样做就变相保证前边没有 j，且不会改变相对大小。还有一个很重要的点： scanf("%s", c) 里边不能加 &）
hdu6078 Wavel Sequence

背包问题 $*$

背包九讲

01 背包
P1048 【模板】[NOIP2005 普及组] 采药
 P1282 多米诺骨牌

完全背包
P1616 【模板】疯狂的采药（朴素的（二维数组）完全背包是 $O (n m \sum_{i = 1}^{n} ⌊ \frac{n}{v [i]}) ⌋$ 的）

tip：关于滚动数组的顺逆序问题，01背包设计 f[i, j] 时是由上一层转移而来，所以如果滚动后顺序遍历，就会提前 f[j] 而更新 f[j - v[i]]，变成用同层的信息转移，错误；而完全背包由于是同层转移（都没讨论由上一层直接继承），所以用顺序遍历正确
01背包： $f [i, j] = m a x {f [i - 1, j], f [i - 1. j - v [i]] + w [i]}$
完全背包： $f [i, j] = m a x {f [i - 1, j], f [i, j - v [i]] + w [i]}$

多重背包
（朴素做法是将多重背包中的物品转化为 $s_{i}$ 件01背包中的物品，每个物品变为 $k \cdot v_{i}$ ， $k \cdot w_{i}$ ，复杂度为 $O (m \sum_{i = 1}^{n} s_{i})$ ）
——二进制优化 把 $s_{i}$ 拆成 $\log s_{i}$ 件跑01背包，时间复杂度可以降到 $O (m \sum_{i = 1}^{n} \log s_{i})$
——单调队列优化 $*$

tip：这里讨论一下拆分系数的空间问题（似乎没看到过有人注意？~~不过确实简单~~）首先知道拆分系数 $k = \sum_{i = 1}^{n} \log s_{i}$
对数基本恒等式，转化一下就是： $k = \sum_{i = 1}^{n} \log s_{i} = \log \prod_{i = 1}^{n} s_{i}$
基本不等式： $\prod_{i = 1}^{n} s_{i} \leq (\frac{\sum_{i = 1}^{n} s_{i}}{n})^{n}$
以板子的数据为例，件数总和 1e5，件数 100， $\log (1000^{100}) < 1000$ ，所以这题二进制拆分数组开 1000 够够的

P1776 【模板】宝物筛选
 P1782 旅行商的背包（不开 longlong 见祖宗 ...）

混合背包
P1833 【模板】樱花（这题空间老是开小了）
P2623 物品选取
 P2851 [USACO06DEC] The Fewest Coins G（完全 + 多重，上界？数组开到最大直接冲）

分组背包
P1757 【模板】通天之分组背包

二维/多维费用背包
P1507 【模板】NASA的食物计划

有依赖的背包
——树形依赖背包 <- 树形dp

泛化物品

背包问题问法变化

区间 dp

CF607B Zuma（一个关于小时候玩过的 zuma 游戏的题，有意思）
P4170 [CQOI2007] 涂色（典？紫？）

CF1132F Clear the String

P4290 [HAOI2008] 玩具取名（状态转移有点像传递闭包的感觉）
P4342 [IOI1998] Polygon（乘法操作，要考虑正负相乘，所以要同时维护最大值和最小值，分类讨论，虽然不重复有六种情况，但可以总结出底层的四种元素再分别暴力取max、min以减少码量，很可以，好题）
P5752 [NOI1999] 棋盘分割（用高一概率学过的知识转化一下就好做了，不过码量大调了好久，注意最后 int 算到 double 要 *1.0 保证精度，好题）

P1436 棋盘分割
 P2217 [HAOI2007] 分割矩阵

P1043 [NOIP2003 普及组] 数字游戏（用前缀和预处理）

树形 dp & 图上（图形？） dp $*$

普通树形dp
P1352 没有上司的舞会（以前真的觉得这个题目是世纪难题 qwq，不过现在回过头来确是最基础的树形dp，可能这就是见证我成长的题目吧）

P2016 战略游戏

P4084 [USACO17DEC] Barn Painting G（一开始我居然对当前点和它的子节点是否已涂色作分类讨论，其实涂色的直接初始化其他涂色情况不存在即可）
P1131 [ZJOI2007] 时态同步
 P2458 [SDOI2006] 保安站岗（不要惯性思维只考察 u -> v，有时可能父节点也会影响当前点状态转移 fa -> u -> v）
P3174 [HAOI2009] 毛毛虫（树形dp求直径变形）
P2015 二叉苹果树（对于严格的二叉树，可以考虑预处理出每个点的左右儿子进行转移）

二次扫描与换根法
P3478 [POI2008] STA-Station（注意：对于 u -> v，不是由子树向上转移，而是一开始知道根节点的值，即知道父节点的值向下转移）

P2986 [USACO10MAR] Great Cow Gathering G（好爽 qwq，换根法很具象（可能做板子是这样的），有点做图论题的感觉）
多倍经验嘿嘿
[ABC220F] Distance Sums 2
[ABC348E] Minimize Sum of Distances
CF1092F Tree with Maximum Cost

P3047 [USACO12FEB] Nearby Cows G（容斥）
P10974 Accumulation Degree
P3647 [APIO2014] 连珠线 $*$

树形依赖背包
P2014 [CTSC1997] 选课（树上跑 01 背包）

基环树

dp 优化策略

状压 dp

tip：

不像序列DP、树形DP之类的直接 dp[i] 表示 i 这个前缀，或者 i 这个子树的相关信息。

状压DP要求表示的状态往往是一个集合的一个子集、一张图的一个子图，或者其他什么乱七八糟的东西，需要你手动 把这些状态和自然数之间建立起一个一一对应关系 方便写代码而已。

P1896 [SCOI2005] 互不侵犯（位运算，另外统计方案数的题目最好开 long long 保险一点）

P1879 [USACO06NOV] Corn Fields G
P2704 [NOI2001] 炮兵阵地（滚动数组 i & 1）

P5911 [POI2004] PRZ（枚举子集类的状压，这里用到枚举二进制数子集的技巧，for s0 = s; s0; s0 = (s0 - 1) & s）

P3052 [USACO12MAR] Cows in a Skyscraper G（枚举子集很一眼，但是会 T 两个点，但是但是，吸个氧居然就过了哈哈）

tip：枚举二进制码的子集的时间复杂度是 $O (3^{n})$ ，证明

P3959 [NOIP2017 提高组] 宝藏 $*$

单调队列优化 $*$

tip：一些细节问题（哨兵 ......

P1886 滑动窗口 /【模板】单调队列（很经典的模型板子，三年后再一次做这道题 ......）
AcWing 135. 最大子序和
 P2627 [USACO11OPEN] Mowing the Lawn G

P2034 选择数字

P2216 [HAOI2007] 理想的正方形（二维单调队列优化，实际上就是做两遍）

AcWing 289. 环路运输
 P5858 「SWTR-3」Golden Sword $*$
P1725 琪露诺
 P3572 [POI2014] PTA-Little Bird（单调队列维护的对象的比较规则中不一定只有一个元素）

CF1077F2 Pictures with Kittens (hard version)

——单调栈优化
CF1407D Discrete Centrifugal Jumps

倍增优化

CF1175E Minimal Segment Cover（注意同一个左端点可能有多个线段为起点，所以初始化记得取 max）

数据结构优化 $*$

P2893 [USACO08FEB] Making the Grade G（性质很显然，然后和 O(n^2) 求 LCS 一样。主要优化的点就是用一个变量实时记录决策最值（这个变量在这里就相当于“数据结构”的效果，本质））

（决策集合不断扩大，避免重复扫描，实时记录决策集合的最优解）

线段树 / 树状数组优化 dp
B3637 最长上升子序列（是真没想到。。。按值建线段树来容易实现朴素dp中 aj < ai 的约束，真的很常用欸，让我想起了逆序对）

The Battle of Chibi（优化后复杂度也达到了 O(n^2logn)，所以。。。这题居然卡线段树（常数比较大），用树状数组维护）

P1668 [USACO04DEC] Cleaning Shifts S（用线段树的点修和区查，维护 dp 数组的决策更新和决策集合最小值，从循环花费的 O(n) 降到跑线段树 O(logn)）
P2418 yyy loves OI IV（经典值域线段树优化）
[ARC159D] LIS 2（贪心结论，维护两个线段树）

斜率优化

数位 dp

插头 dp（轮廓线）

四边形不等式优化

矩乘优化