一些常用技巧的板子和注意点mark

struct 封装多元组（类似 pair<>、tuple<>）

注意：重载运算符中的大小关系与实际比较意义相反，即 x.first > y.first 表示以维度 first 从小到大排序，x.first < y.first 则表示以维度 first 总是得到当前最大值。

 struct T
{
	int first, second, third;
	friend bool operator <(T x, T y)
	{
		return x.first > y.first;
	}
};
priority_queue< T >q;

二分

二分模板一共有两个，分别适用于不同情况。
算法思路：假设目标值在闭区间[l, r]中，每次将区间长度缩小一半，当l = r时，我们就找到了目标值。

case1：找到满足 check() 的区间的左边界，形如 ..........voooooo（. 表示false，o 表示 true，v 表示目标值）

当我们将区间[l, r]划分成[l, mid]和[mid + 1, r]时，其更新操作是r = mid或者l = mid + 1;，计算mid时不需要加1。

 int bsearch(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (check(mid)) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    return l;
}

case2：找到满足 check() 的区间的右边界，形如 oooooov..........

当我们将区间[l, r]划分成[l, mid - 1]和[mid, r]时，其更新操作是r = mid - 1或者l = mid;，此时为了防止死循环，计算mid时需要加1。

 int bsearch_2(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r + 1 >> 1;
        if (check(mid)) l = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    return l;
}

实数上的二分

 l = 0, r = n + 1;
double eps = 1e-6;
while (l + eps < r)
{
	double mid = (l + r) / 2;
	if (check(mid)) r = mid;
	else l = mid;
}
return l;

建图去重边

 #include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;
struct edge
{
	int yo, w, next;
}e[M];
int top, h[N];
int n, m;
 
map<PII, bool> mp;
 
int main()
{
	cin >> n >> m;
	for(int i = 1; i <= m; i ++)
	{
		int x, y;
		cin >> x >> y;
		if (mp.count({x, y})) continue;
		add(x, y);
		mp[{x, y}] = true;
	}
   	return 0;
}

离散化

lower_bound( begin,end,num)：从数组的begin位置到end-1位置二分查找第一个大于或等于num的数字，找到返回该数字的地址，不存在则返回end。通过返回的地址减去起始地址begin,得到找到数字在数组中的下标。

upper_bound( begin,end,num)：从数组的begin位置到end-1位置二分查找第一个大于num的数字，找到返回该数字的地址，不存在则返回end。通过返回的地址减去起始地址begin,得到找到数字在数组中的下标。

 inline void discrete()
{
	for (re i = 1; i <= n; i ++) b[i] = a[i];
	
	sort(b + 1, b + n + 1);
	int cnt = unique(b + 1, b + n + 1) - b - 1;
	
	for (re i = 1; i <= n; i ++)
		a[i] = lower_bound(b + 1, b + cnt + 1, a[i]) - b;
}

mark 遍历的不同顺序对程序时效的影响

P3355 骑士共存问题

做这道题时发现的玄学优化方法？

若用 vector 存图应从右下角开始顺时针遍历；（不存图也要用这种方式）
若用链式前向星存图应从左上角开始顺时针遍历；

取模运算 mod 相关结论

若 $p \geq x$ ， $x \mod p = 0$
若 $p < x$ ， $x \mod p < \frac{x}{2}$

第一个结论显然，主要是证明第二个结论

若 $p < x$ ，令 $x \mod p = b$ ，

所以存在 $k, k \in N_{+}$ ，使得 $x = k p + b$

因为 $p > b$ ，则 $k p + b > 2 b$ ，即 $x > 2 b \to \frac{x}{2} > b$

所以 $x \mod p = b < \frac{x}{2}$

gcd(a, b) 及其相关结论

欧几里得算法求两数的最大公约数，复杂度为 $O (\log (a + b))$

c++ 也有内置函数 __gcd(a,b)

 int gcd(int a, int b)
{
	return b ? gcd(b, a % b) : a;
}

有结论

$\underset{―}{l c m (x, y) \cdot gcd (x, y) = x \cdot y}$

可用于 P8207 [THUPC2022 初赛] 最小公倍树优化建图的转化

$\underset{―}{gcd (a_{1}, a_{2}, a_{3}, . . ., a_{n}) = gcd (a_{1}, a_{2} - a_{1}, a_{3} - a_{2}, . . ., a_{n} - a_{n - 1})}$

运用 P10463 Interval GCD，通过差分将区修 + 区间 gcd 转化为点修 + 区间 gcd，而 gcd 刚好也满足差分转换

这里也给出以下简单的证明，新学到的方法，若想证明 A = B，可以分别证明 A ≥ B， B ≥ A

证明：右部 ≥ 左部
设 $gcd (a_{1}, a_{2}, a_{3}, . . ., a_{n}) = d$ ，
则 $\frac{a_{1}}{d}, \frac{a_{2}}{d} \in Z$ ，不妨设为 $\frac{a_{1}}{d} = k_{1}, \frac{a_{2}}{d} = k_{2} (k_{1}, k_{2} \in Z)$
因为 $k_{2} - k_{1} \in Z$
即 $\frac{a_{2} - a_{1}}{d} \in Z$
其余可推广同理
所以左部的最大公约数 $d$ 至少是右部的公约数，满足不等关系

证明：左部 ≥ 右部
设 $gcd (a_{1}, a_{2} - a_{1}, a_{3} - a_{2}, . . ., a_{n} - a_{n - 1}) = d$
则 $\frac{a_{1}}{d}, \frac{a_{2} - a_{1}}{d} \in Z$ ，不妨设为 $\frac{a_{1}}{d} = k_{1}, \frac{a_{2} - a_{1}}{d} = k_{2} (k_{1}, k_{2} \in Z)$
因为 $k_{1} + k_{2} \in Z$
即 $\frac{a_{2}}{d} \in Z$
其余可推广同理
所以右部的最大公约数 $d$ 至少是左部的公约数，满足不等关系

取整与四舍五入

ceil((double)a / b) 向上取整，等价于公式 x = (a-1)/b+1, 变形一下得 x = (a+b-1)/b

floor((double)a / b) 向下取整

round((double)a / b) 四舍五入（对小数只保留到整数位），若要保留小数位，假设保留 2 位，则 printf("%.2lf\n", round((double)x * 100) / 100);

快速幂

快速求解幂运算 $a^{b}$ ，时间复杂度为 $O (\log b)$

利用二进制拆分的思想和倍增，如 $3^{13} = 3^{{(1101)}_{2}} = 3^{8} \cdot 3^{6} \cdot 3^{1}$

在拆分的同时，对底数进行平方倍增

 inline int quickpow(int a, int b)
{
	int res = 1;
	while (b)
	{
		if(b & 1) res = res * a;
		a = a * a;
		b = b >> 1;
	}
	return res;
}

mark 含减法的取模运算

一定要加上模数再取模！！！ (number % mod + mod) % mod

快读快写

数据流比较大时用，这里只能用于整型输入输出

有时候输出可能会甚至爆 unsigned long long，其实也就只是 long long 的两倍，

此时可以用 __int128，范围顾名思义，NOI Linux 2.0 已经支持！！！但是要手写输入输出

 inline int read()
{
	int x = 0, f = 1; char c = getchar();
	while(c < '0' || c > '9') 
		{ if (c == '-') f = -1; c = getchar(); }
	while(c >= '0' && c <= '9') 
		{ x = (x << 3) + (x << 1) + c - '0'; c = getchar(); } // x = x * 10 + c -'0'
	return x * f;
}
 
inline void print(int x)
{
	if (x < 0) putchar('-'), x = -x;
	if (x > 9) print(x / 10);
	putchar(x % 10 + '0');
}

mark 多组不定数据输入单行字符串

形如

 abcde
fghijk
lmnopq

可以用 while (~scanf("%s", c + 1))，注意不要在里边加 &

其他

油猴 https://www.tampermonkey.net/

cf 翻译 https://greasyfork.org/zh-CN/scripts/465777-codeforces-better

at 翻译 https://greasyfork.org/zh-CN/scripts/471106-atcoder-better

CF-Predictor https://www.crx4chrome.com/crx/46813/

数学小工具 https://zh.numberempire.com/

外国论文 https://cp-algorithms.com/index.html

posted @ 2023-08-22 20:20 Zhang_Wenjie 阅读(11) 评论(0) 编辑收藏举报

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2025年3月

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一

二

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昔日龌龊不足夸，来日放荡思无涯。春风得意马蹄疾，一日看尽长安花。

一些常用技巧的板子和注意点mark

struct 封装多元组（类似 pair<>、tuple<>）

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	struct T
	{
	int first, second, third;
	friend bool operator <(T x, T y)
	{
	return x.first > y.first;
	}
	};
	priority_queue< T >q;

	int bsearch(int l, int r)
	{
	while (l < r)
	{
	int mid = l + r >> 1;
	if (check(mid)) r = mid;
	else l = mid + 1;
	}
	return l;
	}

	int bsearch_2(int l, int r)
	{
	while (l < r)
	{
	int mid = l + r + 1 >> 1;
	if (check(mid)) l = mid;
	else r = mid - 1;
	}
	return l;
	}

	l = 0, r = n + 1;
	double eps = 1e-6;
	while (l + eps < r)
	{
	double mid = (l + r) / 2;
	if (check(mid)) r = mid;
	else l = mid;
	}
	return l;

	#include<bits/stdc++.h>
	using namespace std;
	typedef pair<int, int> PII;
	struct edge
	{
	int yo, w, next;
	}e[M];
	int top, h[N];
	int n, m;

	map<PII, bool> mp;

	int main()
	{
	cin >> n >> m;
	for(int i = 1; i <= m; i ++)
	{
	int x, y;
	cin >> x >> y;
	if (mp.count({x, y})) continue;
	add(x, y);
	mp[{x, y}] = true;
	}
	return 0;
	}

	inline void discrete()
	{
	for (re i = 1; i <= n; i ++) b[i] = a[i];

	sort(b + 1, b + n + 1);
	int cnt = unique(b + 1, b + n + 1) - b - 1;

	for (re i = 1; i <= n; i ++)
	a[i] = lower_bound(b + 1, b + cnt + 1, a[i]) - b;
	}

	inline int quickpow(int a, int b)
	{
	int res = 1;
	while (b)
	{
	if(b & 1) res = res * a;
	a = a * a;
	b = b >> 1;
	}
	return res;
	}

	inline int read()
	{
	int x = 0, f = 1; char c = getchar();
	while(c < '0' \|\| c > '9')
	{ if (c == '-') f = -1; c = getchar(); }
	while(c >= '0' && c <= '9')
	{ x = (x << 3) + (x << 1) + c - '0'; c = getchar(); } // x = x * 10 + c -'0'
	return x * f;
	}

	inline void print(int x)
	{
	if (x < 0) putchar('-'), x = -x;
	if (x > 9) print(x / 10);
	putchar(x % 10 + '0');
	}

ZhangWenjie

昔日龌龊不足夸，来日放荡思无涯。 春风得意马蹄疾，一日看尽长安花。

一些常用技巧的板子和 注意点mark

struct 封装多元组（类似 pair<>、tuple<>）

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离散化

mark 遍历的不同顺序对程序时效的影响

取模运算 mod 相关结论

gcd(a, b) 及其相关结论

取整与四舍五入

快速幂

mark 含减法的取模运算

快读快写

mark 多组不定数据输入单行字符串

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校队

$Z h a n g W e n j i e$

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