算术基本定理解析及其应用

摘要

　　本文主要讲述了算术基本定理的内容，具体的应用形式，重点结合例题展示如何使用算术基本定理求解问题。

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算术基本定理

　　算术基本定理可表述为：任何一个大于1的自然数 N,如果N不为质数，那么N可以唯一分解成有限个质数的乘积N=P1^a1P2^a2P3^a3......Pn^an，这里P1<P2<P3......<Pn均为质数，其中指数ai是正整数。这样的分解称为 N 的标准分解式。

　　算术基本定理是初等数论中一条非常基本和重要的定理，它把对自然数的研究转化为对其最基本的元素——素数的研究。唯一因子分解的思想从本质上讲是指以下两种性质： “存在性和唯一性”。所谓“存在性”就是指一个元素可以分解为有限多个不可约因子的乘积；“唯一性”是指这种分解表示在某种意义上来说是唯一的。

定理应用

算法实现

typedef long long ll;
const int maxn  = 1e6 + 7;
ll a[maxn], b[maxn];//a[i]表示第i个质因子，b[i]表示第i个质因子的指数
void fac(ll n, int& tot) {//待分解的整数和不同质因数的个数（按引用传递）
    ll tmp = (ll)(sqrt(n) + 0.5);
    tot = 0;
    ll now = n;
    for(int i = 2; i <= tmp; i++) {
        if(now % i == 0) {
            a[++tot] = i;
            b[tot] = 0;
            while(now % i == 0) {
                ++b[tot];
                now /= i;
            }
        }
    }
    if(now != 1) {//如果剩下的不是1，那就是最大的质因数
        a[++tot] = now;
        b[tot] = 1;
    }
}

可以用如下代码直接输出2 到100的质因数分解结果

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int maxn  = 1e6 + 7;
ll a[maxn], b[maxn];//a[i]表示第i个质因子，b[i]表示第i个质因子的指数
void fac(ll n, int& tot) {//待分解的整数和不同质因数的个数（按引用传递）
    ll tmp = (ll)(sqrt(n) + 0.5);
    tot = 0;
    ll now = n;
    for(int i = 2; i <= tmp; i++) {
        if(now % i == 0) {
            a[++tot] = i;
            b[tot] = 0;
            while(now % i == 0) {
                ++b[tot];
                now /= i;
            }
        }
    }
    if(now != 1) {//如果剩下的不是1，那就是最大的质因数
        a[++tot] = now;
        b[tot] = 1;
    }
}

int main()
{
    for(ll i = 2; i <=100; i++) {
        printf("%lld = ", i);
        int tot = 0;
        fac(i, tot);
        for(int i = 1; i <= tot; i++) {
            printf("%lld^%lld %c ", a[i], b[i], i == tot ? '\n' : '+');
        }
    }
    return 0;
}

例题解析

lightOJ 1341 Aladdin and the Flying Carpet

题意

　　给出一个长方形的面积a（不是正方形），给出该长方形最小的边b，问组成该面积的长方形有多少种组合方案。比如12 2,有{2,6}、{3,4}两种组合方案。

解题思路

　　问有多少种组合方案，其实就是面积a有多少对因子的乘积等于a，然后去掉最小边不满足条件的对儿数。普通暴力寻找因子对儿数的方法，肯定是要超时的。这里使用唯一分解定理的第一个应用，计算出总的因子数，然后除以2，再减去不符合条件的因子对数即可。需要注意的是每次不必全部试除一遍，不然会超时，这就是这种方法的时间优化之处。

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
typedef long long ll;
const ll maxn = 1e6 +7;
bool isp[maxn];
int pis[maxn], tot;

void getp(ll n) {//得到n以内的素数及个数
    memset(isp, true, sizeof(isp));
    for(ll i = 2; i <= n; i++) {
        if(isp[i]) {
            tot++;
            pis[tot] = i;
        }
        for(int j = 1; (j <= tot) && (i * pis[j] <= n); j++) {
            isp[i * pis[j]] = false;
            if(i % pis[j] == 0) break;
        }
    }
}
ll fac(ll n) {//计算n的正因子个数之和
    ll now = n;
    ll ans = 1;
    for(ll i = 1; i <= tot; i++) {
        if(pis[i] > now)//重要剪枝，每次不必全部试除一遍才结束
            break;
        if(now % pis[i] == 0) {
            int cnt = 0;
            while(now % pis[i] == 0) {
                cnt++;
                now /= pis[i];
            }
            ans *= (cnt + 1);
        }
    }
    if(now != 1)
        ans *= 1 + 1;
    return ans;
}
ll solve(ll S, ll b) {
    if(b * b >= S)
        return 0;

    ll ans = fac(S);//得到S的正因子个数之和
    ans /= 2;
    for(ll i = 1; i < b; i++) {
        if(S % i == 0)
            ans--;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    ll tot = 0;
    getp(maxn - 7);//得到maxn - 7以内的素数及个数
    int T, k = 1;
    scanf("%d", &T);
    while(T--) {
        ll a, b;
        scanf("%lld%lld", &a, &b);
        printf("Case %d: %lld\n", k++, solve(a, b));
    }
    return 0;
}

lightOJ 1236 Pairs Forming LCM

题意

　　给一个n(1 ≤ n ≤ 10¹⁴)，问满足lcm(i, j) = n (1 =< i, j <= n 且 i <= j)的(i, j)有多少对

解题思路

　　一看n的大小就知道暴力肯定是不行了，我们试着用算术基本定理求解一下，将n = p1^x1 * p2^x2 * p3^x3...ps^xs（其中s是唯一分解式中所有质因子的个数）

先假设n = p1^x1;

要使 lcm(i, j) = n，只有两种方法：

　　（1）i = p1^x1,则 j = p1^m(m属于[0, x1])，  这样(i, j)共有  (x1 + 1)种

　　（2）j = p1^x1,则 i = p1^n(n 属于[0, x1])，   这样(i, j)共有  (x1 + 1)种

那么当 n = p1^x1 时答案就是2 * （x1 + 1）对(i, j)，但是当m == n时这一对是计算重复的，所以需要 -1，则最终答案是2 * （x1 + 1） - 1 = 2 * x1 + 1；

推广至n = p1^x1 * p2^x2 * p3^x3...ps^xs（其中s是唯一分解式中所有质因子的个数）可得总的方案数等于ans = (2 * x1 + 1) * (2 * x2 + 1) * (2 * x3 + 1) ...(2 * xs + 1);

题目中要求的是i <= j，所以需要将总的数目除以2，又由于当i 、j都等于n时只计算了一次，所以除以二之后需要再加上。故最终答案是 ans = ans/2 + 1;

代码如下

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
typedef long long ll;
const ll maxn = 1e7 +7;
bool isp[maxn];
int pis[maxn/10], tot;

void getp(ll n) {//得到n以内的素数及个数
    memset(isp, true, sizeof(isp));
    for(ll i = 2; i <= n; i++) {
        if(isp[i]) {
            tot++;
            pis[tot] = i;
        }
        for(int j = 1; (j <= tot) && (i * pis[j] <= n); j++) {
            isp[i * pis[j]] = false;
            if(i % pis[j] == 0) break;
        }
    }
}
ll fac(ll n) {//计算n的正因子个数之和
    ll now = n;
    ll ans = 1;
    for(ll i = 1; i <= tot; i++) {
        if(pis[i] > now)//重要剪枝，每次不必全部试除一遍才结束
            break;
        if(now % pis[i] == 0) {
            int cnt = 0;
            while(now % pis[i] == 0) {
                cnt++;
                now /= pis[i];
            }
            ans *= ( 2 * cnt + 1);
        }
    }
    if(now != 1)
        ans *= 2 * 1 + 1;

    return ans;
}
ll solve(ll n) {
    ll ans = fac(n);//得到n的正因子个数之和
    return ans / 2 + 1;
}
int main()
{
    ll tot = 0;
    getp(maxn - 7);//得到maxn - 7以内的素数及个数
    int T, k = 1;
    scanf("%d", &T);
    while(T--) {
        ll n;
        scanf("%lld", &n);
        printf("Case %d: %lld\n", k++, solve(n));
    }
    return 0;
}

lightOJ Harmonic Number

题意

给出n(1 ≤ n ≤ 10⁸)计算出调和级数的结果

解题思路

虽然没有直接的公式，但是欧拉曾给出过一个近似公式计算调和级数的和，但是由于前几项误差较大，所以我们先计算前10000的结果，之后的使用公式计算。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>

const int maxn = 100010;
using namespace std;
const double C = 0.57721566490153286060651209;
double a[maxn];

int main()
{
    a[0] = 0;
    for(int i = 1; i <= maxn; i++) {
        a[i] = a[i - 1] + 1.0/i;
    }
    int T;
    int n;
    scanf("%d", &T);
    for(int t = 1; t <= T; t++) {
        scanf("%d", &n);
        printf("Case %d: ", t);
        if(n <= maxn) {
            printf("%.10lf\n", a[n]);
        }
        else {
            printf("%.10lf\n", log(n) + C + 1.0/(2 * n));
        }
    }
    return 0;
}

　　最后总结一下使用算术基本定理的心得，使用的时候注意分解，如何使用求得的正因子个数之和，以及所有正因子数之和，来计数。关键还是将问题转换为数学模型。