POJ 1061 青蛙的约会（拓展欧几里得算法求解模线性方程组详解）

题目链接：

BZOJ：

https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1477

POJ：

https://cn.vjudge.net/problem/POJ-1061

题目描述：

Description

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。 我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。

Input

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。

Output

输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"

Sample Input

1 2 3 4 5

Sample Output

4

关于如何使用拓展欧几里得算法求解模线性方程组的证明请参考另一篇博客：

 

 

/*
题意描述
计算满足（x+km)(mod l)=（y+kn)(mod l) 的k的最小正整数

解题思路
使用拓展欧几里得算法求解模线性方程组
由题知，(x+km)≡(y+kn)(mod l) ，由它的充要条件可得
         (x+km)-(y+kn)=tl(其中t属于整数)，整理可得
         k(m-n)-tl=y-x
         另a=m-n,b=-l,c=y-x
         可得ak+bl=c,即二元一次方程，利用拓展欧几里得算法求得
         a和b的最大公约数d以及满足方程的一组解(k0,t0)
         进而判断是否有整数解，有整数解后求出最小正整数解 
*/
#include<cstdio>
typedef long long LL;

void extgcd(LL a, LL b, LL &d, LL &k0, LL &t0);

int main()
{
    LL x,y,m,n,l,a,b,c,d,k0,t0,k,t;
    while(scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&l) != EOF){
        a=m-n;
        b=l;
        c=y-x;
        if(a < 0){
            a = -a;
            c = -c;
        }
        extgcd(a,b,d,k0,t0);
        if(c%d != 0)
            printf("Impossible\n");
        else
        {
            k=k0*c/d;
            l=l/d;
            if(k >= 0)
                k %= l;
            else
                k = k%l + l;
            printf("%lld\n",k);
        }
    }    
    return 0;
}

void extgcd(LL a, LL b, LL &d, LL &k0, LL &t0)
{
    if(b == 0){
        d=a;k0=1;t0=0;
    }
    else{
        extgcd(b,a%b,d,t0,k0);
        t0 -= k0*(a/b);    
    }
}