100个黑球和100个白球问题---扩展思维

一个袋子里有100个黑球和100个白球，每次从袋子里面取出两个球扔掉，再放入一个特定颜色的球。

规则如下：如果取出的两个球颜色相同，则放入袋中一个白球；如果不同，则放入一个黑球。

问题：最后剩余的一个球的颜色是黑色还是白色？

方法一：

黑球◊黑球=白球

白球◊白球=白球

黑球◊白球=黑球

设黑球为1，白球为0：

1◊1=0

0◊0=0

1◊0=1

则原来的操作抽象为：对100个1和100个0做无序的异或操作。

则(1^1^...^1)[100] ^(0^0^...^0)[100]简化为 0^0=0。

故最终剩下白球。

 

方法二：

1）从数量上看，不管怎么操作，每次数量-1，所以最终剩下1个球；

2）3个原子操作如下：
A)出2白球，进一个白球；此时增量delta=-1白球
B)出2个黑球，进一个白球；此时增量delta=-2黑球+1白球
C)出1个黑球，出1个白球，进一个黑球；此时增量delta=-1白球

 反证法：

设三个操作进行的次数为x,y,z，且假设最后剩下的是一个黑球，则有：
100白球+100黑球+x*(-1白球)+y*(-2黑球+1白球)+z*(-1白球)=1黑球
求得2y=99黑球，y不为整数。矛盾。
故最终剩下白球。

 

方法三：

整个过程初始状态为：100个黑球和100个白球；

结合方法二，整个过程有三个原子操作；

问题即为求最终状态。

对状态机比较熟的同学可以试试。

 

一个小例子，可以看出大家的建模能力以及逆向思维能力。虽然简单，却很经典。