动态规划——背包问题

一、01背包
题目描述：01背包是在n件物品取出若干件放在空间为W的背包里，每件物品的体积为w1，w2……wn，与之相对应的价值为P1,P2……Pn。求出获得最大价值的方案。[注意：每种物品只能拿一个。]

用二位数组dp来记录状态，其中dp[i][j]表示的是从第一件物品开始向背包里装，当背包最大空间为j且装到第i件物品时，价值最大是多少。显然，对于每个物品可以选择装或不装~
递推方程：

dp[0][j]=0;
dp[i+1][j]=dp[i][j](j<w[i])
dp[i+1][j]=max(dp[i][j],dp[i][j-w[i]]+p[i+1])(j>=w[i])

例如数据为(w,p)={(2,3),(1,2),(3,4),(2,3)}
根据递推公式可得下表：

实现代码如下：

memset(dp, 0, sizeof(dp));
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
    for (int j = 0; j <= W; j++)
    {
        if (w[i] > j)
            dp[i][j] = dp[i - 1][j];
        else
        {
            dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - w[i]] + p[i]);
        }
    }
}

　　

时间复杂度O(nw)

也可以优化成一维数组，代码如下

for (int i = 1; i <= n; i++)
{
    for (int j = W; j >= w[i]; j--)//这里需要注意，j从W开始循环，因为会用到 dp[j - w[i]],从0到W会出错~~
    {
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + p[i]);
    }
}

　　

例题Hdu Problem : 2602 ( Bone Collector )

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int MAX = 1005;
int d[MAX], w[MAX], p[MAX];

int main()
{
    int n, W, t;

    scanf("%d", &t);
    while (t--)
    {
        scanf("%d%d", &n, &W);
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            scanf("%d", &p[i]);
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            scanf("%d", &w[i]);
        memset(d, 0, sizeof(d));
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            for (int j = W; j >= w[i]; j--)
                    d[j] = max(d[j], d[j - w[i]] + p[i]);
        printf("%d\n", d[W]);
    }
    return 0;
}

　　

二、完全背包
与01背包的区别就是一种物品可以有无数多件。所以对于每种物品，可以选择放0件，放1件，放n件……在不超过背包重量的情况下……
递推公式（复杂度O(nW^2)）

dp[0][j]=0;
dp[i][j]=max(dp[i-1][j-k*w[i]]+k*p[i]);(k=0,1,2,...)(j>k*w[i])

通过观察可发现dp[i][j]可以由dp[i][j-w[i]]推出。从而降低时间复杂度

实现代码（时间复杂度O（nW））：

memset(dp, 0, sizeof(dp));
for (int i = 0; i < n; i++)
{
    for (int j = 0; j <= W; j++)
    {
        if (w[i] > j)
            dp[i + 1][j] = dp[i][j];
        else
            dp[i + 1][j] = max(dp[i][j], dp[i + 1][j - w[i]] + p[i]);
    }
}　

一维数组实现

for (int i = 0; i < n; ++i) {
	for (int j = w[i]; j <= W; ++j) {
		dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + p[i]);
	}
}
printf("%d\n", dp[W]);