LeetCode 650. 2 Keys Keyboard（只有两个键的键盘）（DP/质因数分解）

最初在一个记事本上只有一个字符 'A'。你每次可以对这个记事本进行两种操作：

　　Copy All (复制全部) : 你可以复制这个记事本中的所有字符(部分的复制是不允许的)。
　　Paste (粘贴) : 你可以粘贴你上一次复制的字符。

给定一个数字 n 。你需要使用最少的操作次数，在记事本中打印出恰好 n 个 'A'。输出能够打印出 n 个 'A' 的最少操作次数。

示例 1:

输入: 3
输出: 3
解释:
最初, 我们只有一个字符 'A'。
第 1 步, 我们使用 Copy All 操作。
第 2 步, 我们使用 Paste 操作来获得 'AA'。
第 3 步, 我们使用 Paste 操作来获得 'AAA'。

说明:

n 的取值范围是 [1, 1000] 。

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/2-keys-keyboard
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第一反应是二维DP

dp[i][j] 表示总共i个字母粘贴板有j个字母的最小步骤

class Solution {
public:
    int minSteps(int n) {
        // dp[i][j] 总共i个字母 粘贴板有j个字母 的最小步骤
        int dp[n+1][n+1];
        memset(dp, -1, sizeof dp);
        dp[1][0] = 0;
        int ans = -1;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 0; j <= i; j++) {
                if (dp[i][j] != -1) {
                    if (dp[i][i] == -1 || dp[i][i] > dp[i][j] + 1) {
                        dp[i][i] = dp[i][j] + 1;
                    }
                    if (i + j <= n && (dp[i + j][j]  == -1 || dp[i + j][j] > dp[i][j] + 1)) {
                        dp[i + j][j]  = dp[i][j] + 1;
                    }
                }
                if (i == n && dp[i][j] != -1 && (ans == -1 || ans > dp[i][j])) {
                    ans = dp[i][j];
                }
            }
        }
        return ans;
    }
};

不过运行速度有点慢……

对于任何一个数 n，都可以先凑到该数的一个因数 x ，然后 copy all 复制 n/x-1 次，枚举因数即可

如果 n 为质数，就只能使用 1 来复制 n-1 次

class Solution {
public:
    int minSteps(int n) {
        int dp[n+1] = {0};
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            dp[i] = i;
            for (int j = 1; j < i; j++) {
                if (i % j == 0) {
                    dp[i] = min(dp[i], dp[j] + i / j);
                }
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

复杂度和上面一样，O(n^2) 不过可以优化一下

考虑到一个数x=p*q， p和q是两个质数，那么总共打印的次数就是先打印 p 个字母然后复制 q 次，或者先打印 q 个字母，复制 p 次，结果都是一样的 p+q

在 p > 1 且 q > 1 的条件下 p*q >= p+q 永远成立，所以先打印因数个字母再复制的打印方法是最优的。

所以将n做质因数分解就可以了，比如 36=2*2*3*3 答案就是 dp[36]=dp[2]+dp[2]+dp[3]+dp[3]，又知道所有的质数答案都是固定的（即该数本身），也就是说 36=2+2+3+3=10

class Solution {
public:
    int minSteps(int n) {
        int ans = 0;
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            while (n % i == 0) {
                n /= i;
                ans += i;
            }
        }
        return ans;
    }
};