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在我们研究两个变量(x, y)之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的数据(x1, y1、x2, y2... xm , ym)；将这些数据描绘在x -y直角座标系中(如图1), 若发现这些点在一条直线附近，可以令这条直线方程如(式1-1)。
Y计= a0 + a1 X (式1-1)
其中：a0、a1 是任意实数
为建立这直线方程就要确定a0和a1，应用《最小二乘法原理》，将实测值Yi与利用(式1-1)计算值(Y计= a0 + a1 X)的离差(Yi - Y计)的平方和｀〔∑(Yi - Y计)2〕最小为“优化判据”。
令: φ = ∑(Yi - Y计)2 (式1-2)
把(式1-1)代入(式1-2)中得:
φ = ∑(Yi - a0 - a1 Xi)2 (式1-3)
当∑(Yi-Y计)平方最小时，可用函数 φ 对a0、a1求偏导数，令这两个偏导数等于零。
 (式1-4)
 (式1-5)
亦即：
m a0 + (∑Xi ) a1 = ∑Yi (式1-6)
(∑Xi ) a0 + (∑Xi2 ) a1 = ∑(Xi, Yi) (式1-7)
得到的两个关于a0、 a1为未知数的两个方程组，解这两个方程组得出：
a0 = (∑Yi) / m - a1(∑Xi) / m (式1-8)
a1 = [∑Xi Yi - (∑Xi ∑Yi)/ m] / [∑Xi2 - (∑Xi)2 / m)] (式1-9)
这时把a0、a1代入(式1-1)中, 此时的(式1-1)就是我们回归的元线性方程即：数学模型。
在回归过程中，回归的关联式是不可能全部通过每个回归数据点(x1, y1、 x2, y2...xm,ym),为了判断关联式的好坏,可借助相关系数“R”，统计量“F”，剩余标准偏差“S”进行判断；“R”越趋近于 1 越好；“F”的绝对值越大越好；“S”越趋近于 0 越好。
R = [∑XiYi - m (∑Xi / m)(∑Yi / m)]/ SQR{[∑Xi2 - m (∑Xi / m)2][∑Yi2 - m (∑Yi / m)2]} (式1-10) ＊
在(式1-1)中，m为样本容量，即实验次数；Xi、Yi分别任意一组实验X、Y的数值。 |
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当研究实际中两个变量(x, y)之间的相互关系时，也可得到一系列成对的数据(x1,y1、x2,y2 ... xm,ym)；将这些数据描绘在x - y直 角座标系(如图2)中,发现这些点在一条曲线附近，假设这条曲线的一元非线性方程如(式2-1)。
Y计 = a0 + a1 Xk (式2-1)
其中：a0、a1、k是任意实数
为建立曲线方程，就要确定a0 、a1和 k 值，应用《最小二乘法》同样的方法, 将实测值Yi与计算值 Y计（Y计 = a0 + a1 Xik）的离差 (Yi - Y计)的平方和〔∑(Yi - Y计)2〕为依据：
令: φ = ∑(Yi - Y计)2 (式2-2)
把(式2-1)代入(式2-2)中得：
φ = ∑(Yi - a0 - a1 Xik )2 (式2-3)
用函数 φ 分别对a0、a1 和 k 求偏导数，令这三个偏导数等于零即：
 (式2-4)
 (式2-5)
 (式2-6)
得到三个关于a0、a1 和 k，为未知数的三元方程组，解方程组即可得到数学模型。
判断数学模型的好坏，同样可借助相关系数“R”，统计量“F” ，剩余标准偏差“S”进行判断；“R”越趋近于 1 越好；“F”的绝对值越大越好；“S”越趋近于 0 越好。这样的验证很好时，有的模型计算误差还是很大，为了更进一步的验证数学模型，必需计算模型的最大误差、平均误差和平均相对误差来验证模型。 |
模型选择 
