代数插值法概念

一、插值方法的概念 

用处：根据函数f(x)已有的数据表格来计算函数f(x)在一些新的点x处的函数值。

定义：在所给定的函数表格中间再插入一些所需要的新点上的函数值。

因为多项式具有各阶导数，求值也比较方便，所以通常选多项式函数作为近似函数

首先设法根据表格中已有的函数值来构造一个简单的函数y(x)作为f(x)的近似表达式，

然后再用y(x)来计算新的点上的函数值作为f(x)的近似值.

   二、插值问题的数学提法:

已知函数在n+1个点x₀ ,x₁ ,…,x_n 上的函数值
        y_i =f(x_i ), (i=0,1,…,n) 
求一个简单函数y=P(x),使其满足:
        P(x_i )=y_i ,(i=0,1,…,n) 。
即要求该简单函数的曲线要经过y=f(x)上已知的这个n+1个点： 
       (x₀ ,y₀ ),(x₁ ,y₁ ),…,(x_n ,y_n ),
同时在其它x∈[a,b]上要估计误差:
             R(x) = f(x) - P(x) 
其中P(x)为f(x)的插值函数，x₀ ,x₁ ,…,x_n 称为插值节点，包含插值节点的区间[a,b] 称为插值区间，求插值函数P(x)的方法称为插值法。若P(x)是次数不超过n的代数多项式，就称P(x)为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值。若P(x)是分段的多项式，就是分段插值。若P(x)是三角多项式，就称三角插值。


    三、插值方法面临的几个问题

第一个问题：根据实际问题选择恰当的函数类。本章我们选择代数多项式类，其原因有两个：(1) 代数多项式类简单；微分、积分运算易于实行；(2) 根据著名的Weierstrass逼近定理，任何连续的函数都可以用代数多项式作任意精确的逼近。

第二个问题:构造插值函数P(x),使其满足:P(x_i )=y_i ,(i=0,1,…,n)与此相关的问题是：插值问题是否可解(存在性的问题)，如果有解, 是否唯一？(唯一性的问题）

第三个问题：插值误差R(x)=f(x)-P(x)的估计问题。与此相关的问题是插值过程的收敛性的问题。