抛物插值

线性插值计算方便、应用很广，但由于它是用直线去代替曲线，因而一般要求[x₀, x₁]比较小，且f（x）在[x₀, x₁]上变化比较平稳，否则线性插值的误差可能很大。为了克服这一缺点，有时用简单的曲线去近似地代替复杂的曲线，最简单的曲线是二次曲线，下面就研究用二次曲线去逼近复杂曲线的情形。

       设函数y=f (x) 在给定互异的自变量值x₀, x₁, x₂上对应的函数值为y₀, y₁, y₂，二次插值就是构造一个二次多项式

                    

使之满足

                                                                                   （6.7）

 

 

 

 

 

图6.2

又因过三点的二次曲线为抛物线，故又称为抛物插值。注意，线性插值多项式可写为

                    

因此对二次插值多项式可设

                    

要想满足条件（6.7）就必须有：

                    

 

由（I）式知，x₁, x₂是l₀ (x)的根，所以有：

                                    

再由

                    

得

                    

所以

                    

同理可推得：

                    

这样

                    

显然P₁(x)的次数≤2，且满足P₂(x_i) = y_i，i = 0, 1, 2

       例：用抛物插值求 ，（x^* = 10.7238）

       解：设 ，函数表为

x	100	121	144
y	10	11	12