做题笔记（三）

合集 - 做题笔记(5)

1.做题笔记（一）2024-06-272.做题笔记（二）2024-08-11

3.做题笔记（三）2024-11-12

4.做题笔记（四）2024-11-125.做题笔记（五）2024-12-20

收起

• CF280D - k-Maximum Subsequence Sum $\text{diff : } 2800$

经典问题：求解区间 $k$ 个不交子段的和的最大值。

对于没有修改的版本，我们采用 P6821 [PA2012] Tanie linie 的做法，首先将原序列连续的正（负）数缩成一个数，然后用加入正数，不断减少连续段（加入负数和删除正数），用堆维护即可。

对于修改版本，我们用线段树维护区间最大子段和以及位置，每次取出最大的子段和，然后区间取反，也就是模拟费用流的思想。

• CF464E - The Classic Problem $\text{diff : } 3000$

经典问题：利用主席树优化二进制高精度加法和比较。

加法形如区间清空和单点赋值，可以线段树上二分解决，清空就是删除节点，比较可以记录每个点的哈希值，然后线段树上二分第一个不一样的位置即可。

• CF1558D - Top-Notch Insertions $\text{diff : } 2600$

首先利用线段树上二分求得和答案等价的一组偏序关系。

变成经典问题：$a _ 1 \oplus a _ 2 \oplus \dots \oplus a _ n$，$\oplus$ 中有 $c$ 个小于号，$n - 1 - c$ 个小于等于号，求 $a _ i \in [1, n] \cap \mathbb{N}$ 的方案。

考虑把 $a _ i \le a _ {i + 1}$ 变成 $a _ i < a _ {i + 1} + 1$，这样的话原序列的值域就变成了 $n + n - 1 - c = 2n - c - 1$，最后的答案就是 $\binom{2n - c- 1}{n}$。

• CF914F - Substrings in a String $\text{diff : } 3000$

bitset 优化字符串匹配的模板。

记录每种字符出现的位置，区间询问的话就差分答案即可。

• CF840C - On the Bench $\text{diff : } 2500$

经典问题：求给定序列有多少种排列使得相邻元素都不相同。

考虑容斥，求出钦定有 $i$ 对相邻元素相同的方案 $f _ i$，答案就是 $\sum \limits_{i = 0}^{n - 1}(-1)^i f _ i$。

考虑先计算无标号有颜色的小球计数，最后乘上 $\prod s_i!$ 即可（$s _ i$ 表示某种颜色小球的个数），发现不同的组合对象互不影响，那么先计算 $g _ {i,j}$ 表示对于第 $i$ 种小球，划分出 $j$ 对相邻元素的方案。

$$g _ {i,j} = \dfrac{\binom{s _ i - 1}{j}}{(s _ i - j)!}$$

含义是在 $s _ i - 1$ 个空隙种选出 $j$ 个，然后把序列缩起来，有 $s _ i - j$ 个连通块，这些连通块之间的顺序是无所谓的，那么要除掉。

最后卷积起来就可以了，时间复杂度 $\mathcal{O}(n^2)$ 或者 $\mathcal{O}(n \log^2 n)$。

• CF1061E - Politics $\text{diff : } 2600$

关键在于对于划分唯一的分配方式，对于一个点，钦定其贡献到最近的（有信息的）祖先，那么直接流就可以了。