组合数前缀和计算

记录一下，下文的除法非特殊注明都是向下取整。

求 $F(n, k) = \sum_{i=0}^{k}\binom{n}{i}\pmod p$。

首先使用卢卡斯定理。

$$\begin{aligned} &\sum_{i = 0}^{k}\binom{n}{i}\\ =&\sum_{i = 0}^{k}\binom{\frac{n}{p}}{\frac{i}{p}}\binom{n \bmod p}{i \bmod p}\\ =&\sum_{j=0}^{p-1}\binom{n \bmod p}{j}\sum_{i = 0}^{k}[i\bmod p=j]\binom{\frac{n}{p}}{\frac{i}{p}}\\ =&\sum_{j=0}^{p-1}\binom{n \bmod p}{j}\sum_{i = 0}^{\frac{k-j}{p}}\binom{\frac{n}{p}}{i}\\ =&\sum_{j=0}^{p-1}\binom{n \bmod p}{j}F(\frac{n}{p},\frac{k - j}{p})\\ \end{aligned}$$

然后考虑 $\dfrac{k - j}{p}$ 的取值，只有 $\dfrac{k}{p}$ 和 $\dfrac{k}{p}-1$ 两种，在 $j\in [0,k \bmod p]$ 的时候取到 $\dfrac{k}{p}$，否则取到 $\dfrac{k}{p}-1$。

那么只需要计算两个即可，前面的预处理较小范围的组合数前缀和可以直接算。

时间复杂度 $O(2^{\log_p n})$。

注意到 $F(n,k)=F(n,k-1)+\binom{n}{k}$，这一步使用卢卡斯定理在 $O(\log n)$ 的时间内求出可以做到 $O(\log^2 n)$。

例题有 P4345 [SHOI2015]超能粒子炮·改和[ABC251Ex] Fill Triangle。

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莫队计算方法：

我们只需要能计算 $F(n, k)$ 到 $F(n, k + 1)$ 和 $F(n + 1, k)$ 即可。

第一个是简单的，加一个组合数即可。

第二个考虑看杨辉三角上，发现 $F(n,k)+F(n,k)-\binom{n}{k}=F(n+1,k)$。