三分法求解单峰/谷函数最值的一些应用

三分法求解单峰/谷函数最值的一些应用

回想一下我们在二分的时候二分的那个函数是什么？是一个单调的函数，只会上升或者下降，假如我们要在一个二次函数中求极值，那么二分不再适用（不考虑求导后二分），我们需要三分法来解决这样的问题。

实数域内三分#

这一部分一般都比较好理解，边界问题也较少。

【模版】P3382 三分：不考虑求导后二分。

以这个函数为例：

所谓三分，也就是找出三等分点，然后比较优劣，选取最值即可。

我们发现 $Rmid$ 离极值更近，所以选取右边作为答案，如此往复。

while(r-l>=eps){
    double lmid = l + (r-l)/3.0;
    double rmid = r - (r-l)/3.0;
    f(lmid)<f(rmid)?l=lmid:r=rmid;
}

这样写，每次会把答案区间减少 $\dfrac{1}{3}$。这里给出另一种效率较高的写法：

while(r-l>=eps){
    double mid = (r+l)/2.0;
    f(mid-eps)<f(mid+eps)?l=mid:r=mid;
}

这样相当于把三分的范围缩得很小，效率接近二分。但是，这种方法有一个缺陷，考虑 $eps$ 过小的时候因为精度有限，$f(mid-eps)=f(mid+eps)$ 此时可能会导致我们去向错误的分支！而且平时没人卡三分的效率，因为它已经很快了。

当然，你也可以做做 P1883 【模板】三分 | 函数 这题，巩固一下模版。

注意到在这两题中都明确指出了答案是一个单峰或单谷函数，但是实际问题可能没有这么简单。

【例题 1】P2571 [SCOI2010] 传送带：

这题有两个线段，先来想想假设一条线段已知的情况下怎么做。

假设我们已经到达了 $AB$ 上的点 $P$ 那么考虑下一步接到 $CD$ 上的哪一个点可以最佳，假设两条线段平行，那么显然垂直最短，实际上这题也满足，也就是说明我们可以知道在确定一个线段的时候，可以对另一个来三分。

那么第一维怎么处理呢？实际上这也满足三分的性质，于是我们可以三分套三分。

lld Ax,Ay,Bx,By,Cx,Cy,Dx,Dy,p,q,r,eps=1e-9;
lld Dis(lld x1,lld y1,lld x2,lld y2){
    return sqrt((x1-x2)*(x1-x2)+(y1-y2)*(y1-y2));
}
lld ff(lld x,lld y){
    lld l1=Dis(Ax,Ay,Bx,By)*x,l2=Dis(Cx,Cy,Dx,Dy)*y;
    return l1/p+l2/q+Dis(Ax+(Bx-Ax)*x,Ay+(By-Ay)*x,Dx-(Dx-Cx)*y,Dy-(Dy-Cy)*y)/r;
}
lld f(lld x){
    lld l=0,r=1;while(r-l>=eps){lld mid=(l+r)/2;
        ff(x,mid-eps)>ff(x,mid+eps)?l=mid:r=mid;
    }return ff(x,l);
}
void solve(){
    ios_base::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
    cin>>Ax>>Ay>>Bx>>By>>Cx>>Cy>>Dx>>Dy>>p>>q>>r;
    lld l=0,r=1;while(r-l>=eps){lld mid=(l+r)/2;
        f(mid-eps)>f(mid+eps)?l=mid:r=mid;
    }cout<<fixed<<setprecision(2)<<f(l)<<'\n';
}

代码非常简短。

正数域内的三分#

很多时候，我们的重心都是解决一些序列问题，而这些序列往往不是小数，当其满足单调性的时候我们可以二分，而满足单峰或单谷的时候我们就可以三分答案，而正数的三分也意味着更多的细节。

CF1355E Restorer Distance：

首先，对于一切三分题，首要的是意识到能三分来做，也就是意识到题目的答案函数是单峰或单谷的函数。

对于这题，我们显然可以意识到假如我把砖垒的很高，那么代价显然很大，假如只剩下一点点，那么拿走砖的代价也很大，答案肯定是中间的某个数，于是考虑三分。

那么三分什么呢？显然不能无脑三分最后的代价值，不是不好计算，而是这个函数根本不满足上述要求。我们考虑 $\text{cost}(h)$ 表示当把墙的高度定为 $h$ 时的花费，这个显然符合我们的推理，最后计算答案即可。

int l = 0,r = 1e9,ans = 1e18;
while(l+1<r){
    int mid = (l+r)>>1;
    int x = calc(mid-1),y = calc(mid+1);
    if(x<y){
        ans = min(ans,x);
        r = mid;
    }else{
        ans = min(ans,y);
        l = mid;
    }
}

区别于实数的三分，我们可以采用如第四行的写法，因为差值几乎是一定会造成答案的差异的，注意我说的是几乎。

最后我们输出的时候不能直接 calc(ans)，你考虑到我们在第二行写的判断语句是什么意思？就是说数字个数大于等于 $3$ 个我才三分，是不是意味着退出循环时，我们可能剩下 $x,x+1$ 两个数字？那么我们还需要分别计算这两个的值才能得到最终答案。

【经验】P3745 [六省联考 2017] 期末考试 ：

总体思路差不多。我们只需要三分那个最晚的时间即可。

为什么只写这么一点呢？因为笔者太菜，做的题太少，下次遇到好题了可以补充。